q類似のh解析的な類似物(h類似)

はじめに

$h$類似と言う言葉は私がかってに言ってることで本当はなんて呼ばれてるかはわかりません。

本題の前に

この記事は量子解析学の$Wikipedia$をみて$q$解析と$h$解析と言うものがあり$q$類似があるなら$h$類似もあるだろうという考えから書きました。

本題

まず$q$解析と$h$解析の微分の定義を見ます。

でここから$q$数と$h$数を考えたい。
そこで$x^n$の微分の$n=1$の場合を数とすると
$q$数
$\frac{(qx{)}^n-(x{)}^n}{(q-1)x}$
$\frac{q^n{x}^n-(x{)}^n}{(q-1)x}$
$\frac{(q^n-1)(x{)}^n}{(q-1)x}$
$\frac{(q^n-1)}{(q-1)}(x{)}^{n-1}$
となり$x=1$のときみんなが知ってる$q$数となる。
$h$数
$\frac{(x+h{)}^n-(x{)}^n}{h}$
二項定理をつかって
$\frac{\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{x}^{n-k}{h}^k-(x{)}^n}{h}$
$\frac{\sum _{k=1}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{x}^{n-k}{h}^k}{h}$
$\sum _{k=1}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{x}^{n-k}{h}^{k-1}$
これで$x=1$をすれば$h$数といえるものができたと言える。
余談ですが、$(x+y{)}^n$の展開で$xy=(1+h)xy$をつかうと$h$数がでてくるのでこれを$h$交換関係といえる。
$h$数はわかったのでここから$h$階乗がわかります。($q$類似に関しては飛ばします。詳しく知りたい方は こちらの記事 を見てください)

階乗が定義されるとネイピア数$e^x$が定義されるが$h$微分で変わらない性質は私ではわからなかったので予想としてここに残す。(多分難しくないです)

終わりに

見ていただきありがとうございます。
間違いがありましたら教えてください。

参考にさせていただきました文献

Wikipedia.量子解析学
非可換な世界とq類似について
q-exponential