$$\newcommand{arcosh}[0]{\operatorname{arcosh}}
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$$
最近は，受験勉強の影響でこれまでに経験したことのないくらいに疲れていますが，こういうときに限って，まったく理解できなかったものが理解できるようになったり，新しい発想が生まれたりします．「疲れたときこそペンを動かせ」と高校の先生から言われましたが，まさにその通りだと思いました．（もちろん，適度に休むことも大事．）
本題
前書きが長くなりましたが，この投稿では，最近得られた多重ゼータ値$\zeta(1,\,4)$のもつ美しい積分表示を紹介します．なお，この積分表示は反復積分表示とは異なります．
$\!\textbf{Proposition 1.1.}$
$ \D \zeta(1,\,4) = \int_0^\frac\pi2 \! \frac{\log^2 \sin^\sqrt2 x \log^2 \cos^\sqrt2 x}{\sin x \cos x} \, {\rm d}x $ 証明はあまり難しくありません．項別に積分してから部分積分して置換するだけです．
$ \begin{align}
\zeta(1,\,4)
&= \sum_{0< m< n} \frac1{mn^4} & \text{$\zeta$: multiple zeta function} \\[3pt]
&= \sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^n \frac1{m \, (n+1)^4} \\[3pt]
&= \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{(n+1)^4} \\[3pt]
&= -\frac16 \sum_{n=1}^\infty H_n \int_0^1 x^n \log^3 x \, {\rm d}x \\[3pt]
&= -\frac16 \int_0^1 \log^3 x \sum_{n=1}^\infty H_n \, x^n \, {\rm d}x \\[3pt]
&= \frac16 \int_0^1 \! \frac{\log^3 x \log(1-x)}{1-x} \, {\rm d}x & \text{generating function of $H_n$} \\[3pt]
&= -\frac1{12} \biggl[ \log^3 x \log^2(1-x) \biggr]_0^1 + \frac14 \int_0^1 \! \frac{\log^2 x \log^2(1-x)}x \, {\rm d}x & \text{particular integration} \\[3pt]
&= \frac18 \int_0^1 \! \frac{\log^2 x \log^2(1-x)}{x \, (1-x)} \, {\rm d}x \\[3pt]
&= 4 \int_0^\frac\pi2 \! \frac{\log^2 \sin x \log^2 \cos x}{\sin x \cos x} \, {\rm d}x & \text{substitution of $x \mapsto \sin^2 x$} \\[3pt]
&= \int_0^\frac\pi2 \! \frac{\log^2 \sin^\sqrt2 x \log^2 \cos^\sqrt2 x}{\sin x \cos x} \, {\rm d}x & \blacksquare
\end{align} $ おまけ
この項では depth 3 かつ weight 10 以下の多重ゼータ値を掲載します．多くの多重ゼータ値は Riemann ゼータ値の有理数係数線形結合で表すことができますが，残念なことに weight 8 と weight 10 にはそのような形で表すことができないものがありました．そういった多重ゼータ値は除外しています．
$ \begin{array}{lcr} \text{MZV} & & \text{explicit formulae} \\[3pt] \hline
\zeta(1,\,1,\,2) &=& \zeta(4) \\[3pt] \hline
\zeta(1,\,1,\,3) &=& -\zeta(2)\,\zeta(3) + 2\,\zeta(5) \\[3pt]
\zeta(1,\,2,\,2) &=& 3\,\zeta(2)\,\zeta(3) - \dfrac{11}2\,\zeta(5) \\[3pt]
\zeta(2,\,1,\,2) &=& -2\,\zeta(2)\,\zeta(3)+\dfrac92 \, \zeta(5) \\[3pt] \hline
\zeta(1,\,1,\,4) &=& -\zeta(3)^2 + \dfrac{23}{16}\,\zeta(6) \\[3pt]
\zeta(1,\,2,\,3) &=& 3\,\zeta(3)^2 - \dfrac{203}{48}\,\zeta(6) \\[3pt]
\zeta(1,\,3,\,2) &=& -\dfrac32\,\zeta(3)^2 + \dfrac{53}{24}\,\zeta(6) \\[3pt]
\zeta(2,\,1,\,3) &=& -\dfrac32\,\zeta(3)^2 + \dfrac{53}{24}\,\zeta(6) \\[3pt]
\zeta(2,\,2,\,2) &=& \dfrac3{16}\,\zeta(6) \\[3pt] \zeta(3,\,1,\,2) &=& \zeta(3)^2 - \dfrac{13}{16}\,\zeta(6) \\[3pt] \hline
\zeta(1,\,1,\,5) &=& -\dfrac12\,\zeta(2)^2\,\zeta(3) - 2\,\zeta(2)\,\zeta(5) + 5\,\zeta(7) \\[3pt]
\zeta(1,\,2,\,4) &=& \dfrac75\,\zeta(2)^2\,\zeta(3) + \dfrac{11}2\,\zeta(2)\,\zeta(5) - \dfrac{221}{16}\,\zeta(7) \\[3pt]
\zeta(1,\,3,\,3) &=& - \dfrac92\,\zeta(2)\,\zeta(5) + \dfrac{61}8\,\zeta(7) \\[3pt]
\zeta(1,\,4,\,2) &=& -\dfrac12\,\zeta(2)^2\,\zeta(3) + 5\,\zeta(2)\,\zeta(5) - \dfrac{109}{16}\,\zeta(7) \\[3pt]
\zeta(2,\,1,\,4) &=& - \dfrac32\,\zeta(2)^2\,\zeta(3) + \dfrac52\,\zeta(2)\,\zeta(5) + \dfrac58\,\zeta(7) \\[3pt]
\zeta(2,\,2,\,3) &=& \dfrac9{10}\,\zeta(2)^2\,\zeta(3) - \dfrac{15}2\,\zeta(2)\,\zeta(5) + \dfrac{157}{16}\,\zeta(7) \\[3pt]
\zeta(2,\,3,\,2) &=& - \dfrac{11}2\,\zeta(2)\,\zeta(5) + \dfrac{75}{8}\,\zeta(7) \\[3pt]
\zeta(3,\,1,\,3) &=& \dfrac1{10}\,\zeta(2)^2\,\zeta(3) - \dfrac14\,\zeta(7) \\[3pt]
\zeta(3,\,2,\,2) &=& -\dfrac35\,\zeta(2)^2\,\zeta(3) + 12\,\zeta(2)\,\zeta(5) - \dfrac{291}{16}\,\zeta(7) \\[3pt]
\zeta(4,\,1,\,2) &=& \dfrac7{10}\,\zeta(2)^2\,\zeta(3) -\dfrac{11}2\,\zeta(2)\,\zeta(5) + \dfrac{61}8\,\zeta(7) \\[3pt] \hline
\zeta(1,\,1,\,6) &=& \dfrac12\,\zeta(2)\,\zeta(3)^2 - 3\,\zeta(3)\,\zeta(5) + \dfrac{61}{24}\,\zeta(8) \\[3pt] \hline
\zeta(1,\,1,\,7) &=& -3\,\zeta(2)\,\zeta(7) + \dfrac16\,\zeta(3)^3 - \dfrac94\,\zeta(4)\,\zeta(5) - \dfrac74\,\zeta(3)\,\zeta(6) + \dfrac{28}3\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(1,\,2,\,6) &=& 11\,\zeta(2)\,\zeta(7) - \dfrac13\,\zeta(3)^3 + \dfrac92\,\zeta(3)\,\zeta(6) + \dfrac{13}2\,\zeta(4)\,\zeta(5) - \dfrac{2189}{72}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(1,\,3,\,5) &=& -17\,\zeta(2)\,\zeta(7) + \dfrac16\,\zeta(3)^3 - \dfrac34\,\zeta(3)\,\zeta(6) - \dfrac{23}4\,\zeta(4)\,\zeta(5) + \dfrac{845}{24}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(1,\,4,\,4) &=& 18\,\zeta(2)\,\zeta(7) - \dfrac13\,\zeta(3)^3 + \dfrac43\,\zeta(3)\,\zeta(6) + 5\,\zeta(4)\,\zeta(5) \dfrac{328}9\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(1,\,5,\,3) &=& -10\,\zeta(2)\,\zeta(7) - \dfrac13\,\zeta(3)^3 + \dfrac54\,\zeta(3)\,\zeta(6) + \dfrac54\,\zeta(4)\,\zeta(5) + \dfrac{341}{24}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(1,\,6,\,2) &=& 7\,\zeta(2)\,\zeta(7) - \dfrac23\,\zeta(3)^3 - \dfrac{43}{12}\,\zeta(3)\,\zeta(6) - \dfrac74\,\zeta(4)\,\zeta(5) - \dfrac{461}{72}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(2,\,1,\,6) &=& 7\,\zeta(2)\,\zeta(7) - \dfrac13\,\zeta(3)^3 - \dfrac53\,\zeta(3)\,\zeta(6) - \dfrac14\,\zeta(4)\,\zeta(5) - \dfrac{313}{36}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(2,\,2,\,5) &=& -21\,\zeta(2)\,\zeta(7) + \dfrac23\,\zeta(3)^3 - \dfrac83\,\zeta(3)\,\zeta(6) + \dfrac74\,\zeta(4)\,\zeta(5) + \dfrac{2513}{72}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(2,\,3,\,4) &=& 14\,\zeta(2)\,\zeta(7) + \dfrac23\,\zeta(3)^3 - \dfrac83\,\zeta(3)\,\zeta(6) - \dfrac{35}2\,\zeta(4)\,\zeta(5) - \dfrac{53}{36}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(2,\,4,\,3) &=& -14\,\zeta(2)\,\zeta(7) + \dfrac23\,\zeta(3)^3 - \dfrac73\,\zeta(3)\,\zeta(6) + \dfrac{15}2\,\zeta(4)\,\zeta(5) + \dfrac{593}{36}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(2,\,5,\,2) &=& -11\,\zeta(2)\,\zeta(7) - \dfrac43\,\zeta(3)^3 + \dfrac{41}6\,\zeta(3)\,\zeta(6) + \dfrac{439}{36}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(3,\,1,\,5) &=& -7\,\zeta(2)\,\zeta(7) - \dfrac13\,\zeta(3)^3 + \dfrac54\,\zeta(3)\,\zeta(6) + \dfrac12\,\zeta(4)\,\zeta(5) + \dfrac{121}{12}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(3,\,2,\,4) &=& 28\,\zeta(2)\,\zeta(7) - \dfrac13\,\zeta(3)^3 + \dfrac53\,\zeta(3)\,\zeta(6) + 10\,\zeta(4)\,\zeta(5) - 59\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(3,\,3,\,3) &=& \dfrac16\,\zeta(3)^3 - \dfrac12\,\zeta(3)\,\zeta(6) + \dfrac13\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(3,\,4,\,2) &=& 31\,\zeta(2)\,\zeta(7) - \dfrac13\,\zeta(3)^3 + \zeta(3)\,\zeta(6) - \dfrac{15}2\,\zeta(4)\,\zeta(5) - \dfrac{1567}{36}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(4,\,1,\,4) &=& \dfrac23\,\zeta(3)^3 - \dfrac{41}{12}\,\zeta(3)\,\zeta(6) - 3\,\zeta(4)\,\zeta(5) + \dfrac{115}{18}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(4,\,2,\,3) &=& -28\,\zeta(2)\,\zeta(7) - \dfrac43\,\zeta(3)^3 + \dfrac{29}4\,\zeta(3)\,\zeta(6) - \dfrac{11}2\,\zeta(4)\,\zeta(5) + 46\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(4,\,3,\,2) &=& -32\,\zeta(2)\,\zeta(7) + \dfrac23\,\zeta(3)^3 - \dfrac{25}6\,\zeta(3)\,\zeta(6) + 12\,\zeta(4)\,\zeta(5) + \dfrac{1567}{36}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(5,\,1,\,3) &=& 7\,\zeta(2)\,\zeta(7) + \dfrac16\,\zeta(3)^3 - \dfrac12\,\zeta(3)\,\zeta(6) - \dfrac14\,\zeta(4)\,\zeta(5) - \dfrac
{131}{12}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(5,\,2,\,2) &=& 31\,\zeta(2)\,\zeta(7) + \dfrac23\,\zeta(3)^3 - \dfrac{25}6\,\zeta(3)\,\zeta(6) - \zeta(4)\,\zeta(5) - \dfrac{3319}{72}\,\zeta(9) \\[3pt]
\zeta(6,\,1,\,2) &=& -11\,\zeta(2)\,\zeta(7) - \dfrac13\,\zeta(3)^3 + \dfrac{37}{12}\,\zeta(3)\,\zeta(6) + \dfrac14\,\zeta(4)\,\zeta(5) + \dfrac{551}{36}\,\zeta(9) \\[3pt] \hline
\zeta(1,\,1,\,8) &=& \,\zeta(2)\,\zeta(3)\,\zeta(5) + \dfrac12\,\zeta(3)^2\,\zeta(4) - 4\,\zeta(3)\,\zeta(7) - 2\,\zeta(5)^2 + \dfrac{333}{80}\,\zeta(10) \\[3pt] \hline
\end{array} $ 導出は，また別の投稿で掲載したいと思います．なお depth 2 かつ weight 9 以下の多重ゼータ値は神鳥さんによって求められています．この投稿でも神鳥さんの投稿を参考にしています．
-
depth 2, weight 7 以下の MZV を求める
-
depth 2, weight 9 以下の MZV を求める
もしかしたら，計算間違いや typo があるかもしれないです．その場合には，コメント等で教えていただけると幸いです．読んでいただきありがとうございました．
