超複素数のお話

目次

• 数の拡張
• 『三次元の数』は存在するか？
• 多元数(超複素数)のお話

数の拡張

実数は数直線(一次元)上, 複素数は複素平面(二次元)上で, それぞれ表現することができました.
※これについては, いつか気が向いたら記事を書いてみたいと思います….

複素数をさらに拡張して三次元の数, 四次元の数,...も考えることが出来たら面白そうです. 今回は, そんな『高次元の数』について書いてみました.

『三次元の数』は存在するか？

三次元の数を考えるにあたり, まず複素数の定義を思い出してみることにします.

このとき, 複素数の相等, 加法と乗法については次のように定義されています.

(i)より, 実部と虚部の組を定めると, それに対応して複素数$ \mathbb{Z} $は一意に定まると言えます.

また(iii)より,
$ i^{2}=ii$
$= ( \sqrt{-1})^{2}$
$=-1$
とわかります.

虚数単位$j$

さて, 複素平面上で,原点Oと1を結んだ線分(以下, 元$1$とします)を$\pi/2$だけ回転させると, Oと$i$を結ぶ線分(以下, 元$i$とします)を得ることができます. $i$をさらに$\pi/2$回転すれば$-1$になります(これが$i^{2}=-1$に対応していました).

すると, この$1$と$i$の両方に垂直な3つ目の元があることが予想できます. この元を$j$とします. $1$を$\pi/2$回転すると$j$になることから, $i$のときと同様に考えると, さらに$\pi/2$回転させると$-1$になるので$j^{2}=-1$とわかります. つまり, $j$は$i$とは異なる虚数単位であると言えます.

2つの元$1,i$を持つ複素数が平面に結び付けられたのですから, もし$1$, $i$, $j$の3つの元を持つ数が存在すれば, ３次元空間と関係づけられそうです.

このことを踏まえて, 次のような数を仮定します.

※(1)について: ここでは割愛しますが, $j$が複素数であると仮定して式を整理すると簡単に証明できます.

今回の目標は「複素数を拡張して三次元の数を考える」ことですから, 先の《定義2》に准えて乗法を考えてみます.

ここで, $ij$の処理に困ってしまいます.

三次元の数が存在するかどうかを確かめるため, $ij$が実数$x,y,z$に対して$x＋iy＋jz$の形で表されると仮定します(この結果が$i$と$j$で表せなければ, $i$と$j$の積が三次元の数でなくなってしまい, 三次元の数が乗法について閉じていないことになります).

このとき,

の両辺に$i$をかけて変形してみます.

$iij=i(x＋iy＋jz)$
$ i^{2}j=ix＋ i^{2}y＋ijz$
$-j=ix-y＋ijz$

右辺を左辺に移項すると,

$-ix＋y-ijz-j=0$

となり, また$ij$が登場するので, もう一度$(2)$を代入してみます.

$-ix＋y-z(x＋iy＋jz)-j=0$
$-ix＋y-zx-izy-jz^{2}-j=0$
$(y-zx)-i(x＋yz)-j( z^{2}＋1)=0・・・(3)$

さて, 今知りたいのは「$j$という数が何であるか？」なので, これを “$j=$” の式に直します.
$z$は実数なので, $ z^{2}＋1 \geq 1$ が成り立っています.

したがって, $(3)$の両辺を$ z^{2}＋1$で割ると

$ \frac{y-zx}{z^{2}＋1}- i\frac{x＋yz}{z^{2}＋1}-j=0$

$j=\frac{y-zx}{z^{2}＋1}＋i\frac{-(x＋yz)}{z^{2}＋1}$

となります.

ここで, $\frac{y-zx}{z^{2}＋1}, \frac{-(x＋yz)}{z^{2}＋1}$　はともに実数なので, $j$は

の形になっています.
つまり $j$は複素数になってしまい, $(1)$ に矛盾するので, $(2)$の仮定が誤りだとわかりました.

よって, $ij$は三次元の数の集合の中に含まれないことになり,

「三次元の数」は作れない

ことが示されました.

多元数(超複素数)のお話

さて, 今回は『多次元の数』の例として, 主に『三次元の数』に注目してきました. 重い証明になってしまいましたが, 最後に少しだけ一般的なお話をしたいと思います.

この投稿の中で「n次元の数」(nは自然数とします)と呼んでいた数の集合は, n個の元を持つことから正式にはn元数という名前がついています. また, それらをまとめて多元数(超複素数)といいます.

厳密な定義はいくつかありますが, ここでは「実数からスタートし, 整合性を保ったままそれを拡張してゆくと作られる数」というイメージに留めておきます.

拙い文章ではありますが, お読みいただき本当にありがとうございました.