スパゲッティ問題と少し変わった確率の求め方①

スパゲッティ問題とは？

「スパゲッティを無作為に２か所で折り、３本に分けたとき、その３本で三角形が作れる確率を求めよ。」という問題です。ここで言うスパゲッティとはゆでる前の固いもので、もちろん曲げることも伸ばしたり縮めたりすることはできません。では、この問題をどうやって解くのか解説していきましょう。

解き方の一例

ここで紹介するとき方はあくまで一例です。私の力では他の解法は見つけれなかったので、見つけた方は是非教えてください。

折れる前のスパゲッティの長さを１とします。（何でもいいのですが便利上１とします。）
折れたうちの一本を$\normalsize x$、一本を$\normalsize y$、最後の一本を$1−(\normalsize x +\normalsize y)$とします。あたりまえですが、これら３本の長さはすべて正となります。
もちろんながら、$\normalsize xと\normalsize y$の合計は１より小さくなります。
また、３本の折れたスパゲッティで三角形が作れることの必要十分条件は、どの１本もほかの２本の合計より短いことです。
これらのことを式にすると、
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \normalsize x +\normalsize y \lt1\\\normalsize x\lt \frac{1}{2}\\\normalsize y\lt \frac{1}{2}\\\normalsize x+y\ \gt\frac{1}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray} $
となります。これを領域を使って考えると、
グラフ
このようになります。大きな三角形が折れ方の全体で、色がついている三角形が折れた３本のスパゲッティで三角形が作れる折れ方です。色がついている部分は大きな三角形に対して相似比が１:２、つまり面積比が１:４の小さな三角形が大きな三角形から３つ引かれた面積なので小さな三角形の面積は大きな三角形の面積の$\frac{1}{4}$となります。よって、スパゲッティを無作為な２か所で折り、３本に分けたとき、その３本で三角形が作れる確率は$\frac{1}{4}$となります。

さいごに

今回は確率を領域を使って求めるという少し変わった手法を紹介しました。
今回はインターネットで調べたら出てくる内容でしたが、次回からは４本以上のn本に折ったときn角形ができる確率はどうなるのかについて書こうと思ってます。
気が向いたときにのんびり書こうと思ってるのでいつになるかわかりませんが、気長に待っていてください。

誤植、ミス等があればコメント、twtterのDMでおしらせください。
自分の実力では書けるかわかりませんが、リクエスト受け付けてます。