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数Ⅲ 積分編

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この記事は数Ⅲが出来ない作成者の勉強とタイピング練習を兼ねたものです。

はじめに

積分苦手です

公式暗記しようのコーナー

あんまり覚えてないやつだけ
随時更新
$\displaystyle\int \log xdx=x\log x-x+C$

$\displaystyle\int \tan x= -\log |\cos x|+C$

$\displaystyle\int \tan^2x= \tan x-x+C$

$\displaystyle\int \frac{1}{ \cos^2x}dx= \tan x+C$

$\displaystyle\int\frac{1}{\sin x}= \frac{1}{2}\log (\frac{1-\cos x}{1+\cos x})+C$

$\displaystyle\int\frac{1}{\cos x}= \frac{1}{2}\log (\frac{1+\sin x}{1-\sin x})+C$

$\displaystyle\int\frac{1}{\tan x}= \log |\sin x|+C$

部分積分法

$\displaystyle\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$
関数のどちらか一方が微分することにより簡単になる場合に有効

置換積分法

$\displaystyle\int f(x)dx=\int f(g(t))g'(t)dt$
定積分の場合も積分範囲を$a→bからg(a)→g(b)$にして同じように

積分定石など

$(x-α)^m(x-β)^n$
部分積分

$\sqrt{f(x)}$を含む積分
$\sqrt{f(x)}=t$とおいてみる

・絶対値を含むもの
中身の正負で場合分け

・分数式
分子の次数≧分母の次数、の時は分子を分母で割り分子の次数<分母の次数、の形を作る
そして$\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}$の形がないか確認
または部分分数分解

$\log$
$\log$を微分する方向に部分積分
$\log x$$1×\log x$と見る
部分積分がうまくいかないときは$t=\log x$で置換($dt=\displaystyle\frac{1}{x}dx$)すると解けるかも

・三角関数
($3$以上)乗にはあまり強くないので$2$乗の形を何とか作る
$\sin ^3x=(1-\cos ^2x)(-\cos x)'$$\sin ^4x=\dfrac{1}{4}(1-\cos 2x)^2 $のように次数を下げていく
その上で変形や部分積分
King Propertyを使えないかどうかも検討
よっぽどじゃないと使わない気もするが$\tan \dfrac{\pi}{12}=2-\sqrt3$$\tan\displaystyle\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1$などの有名でない角の$\sin,\cos,\tan$の値を覚えておくとよい
例えば積分範囲を$0~\frac{\pi}{2}$などにすれば$\sin x$$\cos x$が入れ替わった式が出来る→King Propertyの利用
$\sin x+\cos x=t$と置換($(\sin x-\cos x)dx=dt$)するのも覚えておくとよい
$\sin x\cos x=\dfrac{1}{2} (\sin x+\cos x)^2-1 $の様な変形も便利
$\displaystyle\int f(\sin x)\cos xdx$の形ができるか考える
最終手段として$\tan \dfrac{x}{2}=t$の置換を試す

和積の公式は覚えていなくても導出できるように

$\sqrt{a^2-x^2}$を含む式
$x=a\sinθ(またはa\cosθ)$と置換するのが定石
$\sqrt{a^2-x^2}=t$と置換した方が簡単な場合も

$a^2+x^2$を含む式
$x=a\tanθ$の置換が定石
$x=a\frac{e^t-e^{-t}}{2}$と置換した方が簡単な場合も

$e^{ax}\sin、e^{ax}\cos$
部分積分を$2$回する方法が有名
微分して$e^{ax}\sin bx$となる式を探すのが速い
$Ae^{ax}\cos bx + Be^{ax}\sin bx$で探す

$\sqrt{x^2+1}$
$t=x+\sqrt{x^2+1}$で置換($\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\displaystyle\frac{1}{t}dt$)
または下のように双曲線関数で置換

$\displaystyle\int \sqrt{x^2+1}dx$
$x=\displaystyle\frac{1}{2}(e^t-e^{-t})$と置換 ($x=\sinh t$)
この時$t=\log(x+\sqrt{x^2+1})$$dx=\displaystyle\frac{e^t+e^{-t}}{2}$

$\displaystyle\int\sqrt{x^2-1}dx$
$x=\displaystyle\frac{1}{2}(e^t+e^{-t})$と置換 ($x=\cosh t$)
この時$t=\log(x+\sqrt{x^2-1})$、 $dx=\displaystyle\frac{e^t-e^{-t}}{2}$

瞬間部分積分

※多項式$f(x),g(x)$を、$f,g$と書く。$g$を積分したものを$g_1$、それを積分したものを$g_2$とし、以下同様に定義する。
$\displaystyle\int fgdx=fg_1-f'g_2+f''g_3-f'''g_4+...+C$
$\displaystyle\int e^xf(x)=e^x(f(x)-f'(x)+f''(x)-...)+C$
$\displaystyle\int e^{-x}f(x)dx- -e^{-x}(f(x)+f'(x)+...)+C$

$\tan \frac{x}{2}=t$の悪魔的置換

被積分関数が$f(\sin x,\cos x)$で表される時

$\tan\displaystyle\frac{x}{2}=t$と置換すれば必ず$t$の有理関数に帰着できる

このとき$\sin x=\displaystyle\frac{2t}{1+t^2} \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \tan x=\frac{2t}{1-t^2}$
$dx=\displaystyle\frac{2}{1+t^2}dt$

King Property

$I=\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\int_a^bf(a+b -x)dx$

すなわち$2I=\displaystyle\int_a^b\{f(x)+f(a+b-x)\}dx$

$\displaystyle\int_0^{\pi} x f(\sin x)dx=\dfrac{\pi}{2}\int_0^{\pi} f(\sin x )$なども頻出

例)$I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin ^3x}{\sin ^3x+\cos ^3x}dx$

$x=\dfrac{\pi}{2}-t$で置換すると、

$I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos ^3t}{\sin ^3t+\cos ^3t}dt$

$=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos ^3x}{\sin ^3x+\cos ^3x}dx$(文字をxにしただけ)

より$2I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin ^3x+\cos ^3x}{\sin ^3x+\cos ^3x}dx$

$=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}dx$

$=\dfrac{\pi}{2}$

より$I=\dfrac{\pi}{4}$

逆関数 定積分

逆関数を積分したいとき、逆関数を求めて積分するよりも、$y=g(x)⇔x=g^{-1}(y)$に着目し置換積分法を用いた方が計算が楽な場合がある。
参考:東京大学2006年度理系数学第6問

区分求積法

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow∞}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f( \frac{k}{n})=\displaystyle\lim_{n\rightarrow∞}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})=\int_0^1 f(x)dx$

また、$\displaystyle\lim_{n\rightarrow∞}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{m\times n}f(\frac{k}{n})=\int_0^m f(x)dx$(←上の式はm=1のとき)

和の極限は$\sum$から$\displaystyle \frac{1}{n}$をくくりだし、残りを$f(\displaystyle\frac{k}{n})$の形に変形することで定積分で上記のように表して求められる場合がある。
$y=f(x)$のグラフを描き、どのような長方形の面積の和として表せるかを考えて定めるとよい。

台形公式

$\displaystyle\int_a^bf(x)dx\fallingdotseq\frac{1}{n}(y_0+2\sum_{k=1}^{n-1}y_k+y_n)$

ただし$h=\displaystyle\frac{b-a}{n},y_k=f(a+kh)$

ベータ関数

正の数$x,y$に対して定義される$2$変数関数
$\displaystyle B(x,y)=\int^1_0 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$
をベータ関数という。

ガンマ関数

$Γ(x)=\displaystyle\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt (x>0)$
で定義される関数をガンマ関数という。
これは階乗の概念の拡張であり、$Γ(1)=1、Γ(x+1)=xΓ(x)$を満たす。
また、ベータ関数$B(x,y)$について、正の数$x,y$にたいして$B(x,y)=\displaystyle\frac{\Gamma(x)+\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$が一般に成り立つことが証明可能である。

極方程式で表された図形の面積

$r=f(\theta)$で表された曲線と半直線$\theta=\alpha、\theta=\beta$で囲まれた図形の面積を$S$とする。$(0<\beta-\alpha≦2\pi)$
扇形で近似して極限を考えることで、
$S=\displaystyle\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta (f(\theta) )^2 d\theta$
が得られる。

バウムクーヘン分割

区間$[a,b](0≦a< b)$において$f(x)>0$であるとき、曲線$y=f(x)$$x$軸、および$2$直線$x=a,x=b$で囲まれた部分を$y$軸の周りに一回転させてできる立体の体積$V$は、
$V=\displaystyle2\pi\int_a^b xf(x)dx$
で与えられる。
文字通りバウムクーヘンのように円筒状の薄い部分に分割して考え、バウムクーヘンの表面を薄く剥がして広げ、長方形として近似を考えることで導出できる。

共通部分の体積

複数の円柱の重なっている部分の体積など、脳内で立体、断面がイメージしにくい場合、
共通部分の断面は断面の共通部分
であると考え、複数の立体を合わせて考える前に個々の立体の断面を考え、断面同士の共通部分を考えることで断面を考えやすくなる。

そのほか メモ

$\displaystyle \int f(\cos x)\sin xdx$の形を作って$\cos x=t$と置換する
$\displaystyle \int f(\sin x)\cos xdx$の形を作って$\sin x=t$と置換する
$\displaystyle \int f(\tan x)\frac{1}{\cos^2x}dx$の形を作って$\tan x=tと置換する$
$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^x g(t)dt=g(x)$
漸化式が絡む定積分の問題ははさみうちを考える
定積分の不等式ははさみうちを考える、積はコーシーシュワルツで解決
積分と極限は勝手に交換しない

あってる?(習ってない)

投稿日:2021126

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