不等式 x^y+y^x>1 の秀逸な証明

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$0< x<1,\ 0< y<1$に対して $x^y+y^x > 1$.

この不等式はいろいろなところで見かけるので, 知っている人も少なくないだろう. 初めて見る人は何が面白いのかと思うかもしれない. 実は結果以上にその証明が面白い. 私が感動した秀逸な証明を紹介したい.

ベルヌーイの不等式を使って
　$x^{1-y} = (1+(x-1))^{1-y} \leq1+(x-1)(1-y)=x+y-xy< x+y$.
　よって $\displaystyle x^y > \frac{x}{x+y}$. 同様に $\displaystyle y^x > \frac{y}{y+x}$. したがって $\displaystyle x^y+y^x>1.$　$\blacksquare$

※ もちろん, 正の数$x,y$に対して, いずれかが1以上であれば $x^y+y^x > 1$は明らかに成り立つ.

ところで, 2024年現在, Fibonacci Quarterlyに問題を150題以上提供し続けている. 過去に作成したお気に入りの問題をXに載せているので興味のある方は是非ご覧ください. https://twitter.com/Fibonacci_fun
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投稿日：2021年2月22日

更新日：12日前

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