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解説大学数学以上
不等式 x^y+y^x>1 の秀逸な証明
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$0< x<1,\ 0< y<1$に対して $x^y+y^x > 1$.
この不等式はいろいろなところで見かけるので, 知っている人も少なくないだろう. 初めて見る人は何が面白いのかと思うかもしれない. 実は結果以上にその証明が面白い. 私が感動した秀逸な証明を紹介したい.
ベルヌーイの不等式を使って
$x^{1-y} = (1+(x-1))^{1-y} \leq1+(x-1)(1-y)=x+y-xy< x+y$.
よって $\displaystyle x^y > \frac{x}{x+y}$. 同様に $\displaystyle y^x > \frac{y}{y+x}$. したがって $\displaystyle x^y+y^x>1.$ $\blacksquare$
※ もちろん, 正の数$x,y$に対して, いずれかが1以上であれば $x^y+y^x > 1$は明らかに成り立つ.
投稿日：2021年2月22日
更新日：2021年2月25日
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