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不等式 x^y+y^x>1 の秀逸な証明

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$0< x<1,\ 0< y<1$に対して $x^y+y^x > 1$.

この不等式はいろいろなところで見かけるので, 知っている人も少なくないだろう. 初めて見る人は何が面白いのかと思うかもしれない. 実は結果以上にその証明が面白い. 私が感動した秀逸な証明を紹介したい.

ベルヌーイの不等式を使って
 $x^{1-y} = (1+(x-1))^{1-y} \leq1+(x-1)(1-y)=x+y-xy< x+y$.
 よって $\displaystyle x^y > \frac{x}{x+y}$. 同様に $\displaystyle y^x > \frac{y}{y+x}$. したがって $\displaystyle x^y+y^x>1.$ $\blacksquare$

※ もちろん, 正の数$x,y$に対して, いずれかが1以上であれば $x^y+y^x > 1$は明らかに成り立つ.

投稿日:2021222
更新日:2021225

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