2021 東工大 問1

2021年 東京工業大学 数学 第1問 (2)の評価を厳しくしてみよう。

問題

(1)

$k$桁の自然数のうち$9$を含まないのものの個数を求めればよいので、
$\hspace{30pt}a_k=8\cdot9^{k-1}$
となる。

(2)　まずは想定解を紹介します。

$10^{i-1}$以上$10^i-1$未満の自然数について考える。このうち条件$(*)$を満たすものの個数は(1)より、$a_i=8\cdot9^{i-1}$であり、この$a_i$個の数字を全て$10^{i-1}$とすれば、
$\hspace{30pt}\displaystyle\sum_{n=10^{i-1}}^{10^i-1}b_n<8\cdot9^{i-1}\cdot\cfrac{1}{10^{i-1}}=8\cdot\left(\cfrac{9}{10}\right)^{i-1}$
と上から押さえることができる。具体例で確認してみましょう。

$i=1$のとき、
　　$1\sim9$について考えるので、
　$\hspace{30pt}\displaystyle\sum_{n=1}^{9}b_n=\left(\cfrac11+\cfrac12+\cdots+\cfrac18\right)<\left(\cfrac11+\cfrac11+\cdots+\cfrac11\right)=8\cdot9^{1-1}\cdot\cfrac{1}{10^{1-1}}=8\cdot\left(\cfrac{9}{10}\right)^0$
　　となる。

$i=2$のとき、
　　$10\sim99$について考えるので、
　$\hspace{30pt}\displaystyle\sum_{n=10}^{99}b_n=\left(\cfrac1{10}+\cdots+\cfrac{1}{18}+\cfrac{1}{20}+\cdots+\cfrac{1}{28}+\cdots+\cfrac{1}{80}+\cdots+\cfrac{1}{88}\right)<8\cdot9^{2-1}\cdot\cfrac{1}{10^{2-1}}=8\cdot\left(\cfrac{9}{10}\right)^1$
　　となる。

このように、上から評価して不等式の式を得る。
$\hspace{30pt}\displaystyle\sum_{i=1}^k\displaystyle\sum_{n=10^{i-1}}^{10^i-1}b_n<\displaystyle\sum_{i=1}^k8\cdot\left(\cfrac{9}{10}\right)^{i-1}=\cfrac{8\left\{1-\left(\frac{9}{10}\right)^k\right\}}{1-\frac{9}{10}}=80\left\{1-\left(\cfrac{9}{10}\right)^k\right\}<80$
よって、題意は示された。

想定解では$10^{i-1}\sim10^{i}-1$の自然数を全て$10^{i-1}$としたが、もう少し細かく区切って上から押さえてみる。

$A(i)=\displaystyle\sum_{n=10^{i-1}}^{10^i-1}b_n$とおく。

$i=2$のとき、
$\hspace{30pt}A(2)=\left(\cfrac{1}{10}+\cdots+\cfrac{1}{18}\right)+\left(\cfrac{1}{20}+\cdots+\cfrac{1}{28}\right)+\cdots+\left(\cfrac{1}{80}+\cdots+\cfrac{1}{88}\right) \\ \hspace{30pt}<\left(\cfrac{1}{10}+\cdots+\cfrac{1}{10}\right)+\left(\cfrac{1}{20}+\cdots+\cfrac{1}{20}\right)+\cdots+\left(\cfrac{1}{80}+\cdots+\cfrac{1}{80}\right) \\ \hspace{30pt}=\cfrac{9}{10}\cdot\cfrac{1}{1}+\cfrac{9}{10}\cdot\cfrac{1}{2}+\cfrac{9}{10}\cdot\cfrac13+\cdots+\cfrac{9}{10}\cdot\cfrac{1}{8} \\ \hspace{30pt}=\cfrac{9}{10}\left(\cfrac11+\cfrac12+\cdots+\cfrac18\right)=\cfrac{9}{10}A(1)$

このように、$A(i+1)<\cfrac{9}{10}A(i)$という関係が得られる。(証明後述)

したがって、
$\hspace{30pt}A(i)<\cfrac{9}{10} A(i-1)<\left(\cfrac{9}{10}\right)^2 A(i-2)<\left(\cfrac{9}{10}\right)^3 A(i-3)<\cdots<\left(\cfrac{9}{10}\right)^{i-1} A(1)$
$\hspace{30pt}\therefore\,\,\displaystyle\sum_{i=1}^k\displaystyle\sum_{n=10^{i-1}}^{10^i-1}b_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}A(i)<\displaystyle\sum_{i=1}^k\left(\cfrac{9}{10}\right)^{i-1}A(1) \\ \hspace{95pt}=\cfrac{A(1)\left\{1-\left(\frac{9}{10}\right)^k\right\}}{1-\frac{9}{10}}=10\cdot A(1)\left\{1-\left(\cfrac{9}{10}\right)^k\right\}<10\cdot A(i)$

$A(1)=\cfrac11+\cfrac12+\cdots+\cfrac18=\cfrac{761}{280}=2.71\cdots$より、

$\hspace{30pt}\displaystyle\sum_{n=1}^{10^k-1}b_n<27.1\cdots$を得る。

$A(i+1)<\cfrac{9}{10}A(i)$の証明

2021年東京工業大学入試問題

引用