高校数学解法メモ

はじめに

気が向いたら色々書きます。メモのようなもの。あんまり大したこと書いてないです。

数ⅠA

ガウス記号$\rightarrow$$x-1<[x]\leqq x$ではさむ、格子点の問題に言い換えるなど
対称式$\rightarrow$解と係数の関係の利用など
$2$つの$2$乗の和を含む式の最大値、最小値など$\rightarrow$コーシー・シュワルツの不等式の利用を考える
～を満たす$(a,b)$を求めよ、等の整数問題$\rightarrow$合同式の利用、わからなければとりあえず書き出して法則性を見出す、フェルマーの小定理、ウィルソンの定理の利用など
$a,b$が互いに素な整数$\rightarrow$任意の整数は$ax+by$と表せる、$ax+by=1$なる$x,y$が必ず存在
合同式$\rightarrow$加法、減法、乗法に関して等式とまったく同じように扱ってよい
確率漸化式を立てたものの解けない、など確率の問題で行き詰まる$\rightarrow$対称性の利用、余事象の利用など
$x$と$1/x$など複数をかけることで簡単になるもの$\rightarrow$相加平均と相乗平均の大小関係の利用
条件を満たす$x$を求める、等で答えの予想がつくが示し方が分からない$\rightarrow$その解での成立を示し他に解が存在しないことを示すことを考える
未知数がたくさんある不定方程式$\rightarrow$対称性を持つ式なら一般性を失わないので$a< b< c$とおける、など大小関係を設定する、約数や倍数などで候補を絞るなど
$\displaystyle\frac{1次式　}{2次式　}$など$\rightarrow$部分分数分解の検討
$lcm,gcm$の問題$\rightarrow$$a,b$の最大公約数を$g$、最小公倍数を$l$とすると$ab=gl$、の利用など
背理法での無理数であることの証明等$\rightarrow$$a$が有理数と仮定、$p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{N}$として$a$を$\displaystyle\frac{p}{q}$とおく(分母が$0$にならないので都合が良い)

数ⅡB

$xyz$空間において直線、平面の式を出すのが困難or面倒$\rightarrow$相似比の利用など
相異なる3つの実数解をもつ、などの条件から$a,b$の存在範囲などを問う問題$\rightarrow$定数分離を検討
全ての$x$について$f(x)>0$を示す等$\rightarrow$$(hogehoge)^2+(hoge)^2+...+$正の定数、の形を作る
パラメタ$a$を含む曲線の通過領域$\rightarrow$$x$を固定して$y(a,x)$の取りうる値の範囲を不等式で表す、または$x,y$の値を係数とする$a$の方程式が実数解をもつ$x,y$の条件を考える
接線$\rightarrow$とりあえず接点を$(t,f(t))$とおく、接線を$l(x)$として$ax^2+bx+c-l(x)=a(x-t)^2$、と表す
数列で規則性が分からない、など$\rightarrow$とりあえず書き出す
基本の$a(n+1)=pa(n)+q$：特性方程式→公比$p$の等比数列にする
$a_{n+1}-a_n=f(n)$型$\rightarrow$$a(1)$と$f(k)$の$k=1～n-1$の和
$a_{n+1}=pa_n+f(n)$型$\rightarrow$変形して$a_{n+1}+g(n+1)=p(a_n+g(n))$を作る($f(n)$が多項式なら$g(n)$は$f(n)$と次数が等しいので係数を未知数として係数を求めればよい、$f(n)$が$Aq^n$型の場合、両辺を$p^{n+1}$で割るとよい)
$a_n=S_n-S_{n-1}$$\rightarrow$$S_n$を含む漸化式で用いる
3項間漸化式$\rightarrow$$a_{n+2}+pa_{n+1}+q{a_n}=0$として$x^2+px+q=0の解\alpha、\beta$を用いる
$a_{n+1}=\displaystyle\frac{pa_n}{ra_n+s}$$\rightarrow$逆数を取る
$na_{n+1},(n+1)a_n$$\rightarrow$$n(n+1)$で割るとよい(逆に掛けるパターンもある)
$a_{n+1}=na_n$$\rightarrow$両辺を$n!$で割る
偶奇で式が異なる$\rightarrow$$n=2k-1,n=2k$とおき奇数項偶数項それぞれで分ける
$a_n,b_n$の2つが混ざっているパターン$\rightarrow$$a_n+b_n、a_n-b_n$を作り和と差を取るものが多い
確率漸化式$\rightarrow$$p_n$を既知としたときに$p_{n+1}$がどうなるかを考える。3項間のようなものも同様
$\displaystyle\frac{1}{a_n}$と$\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}$など同型のもの$\rightarrow$それ自体を$b_n$とおくとやりやすい(もちろんおかずにそのまま解くことも可能だが式が煩雑になることも多いので)
$a_{n+1}=pa_n^2$型$\rightarrow$両辺の対数を取るとよい($b_n=\log_q a_n$などとおく)

解法が思い浮かばない$\rightarrow$書き出して一般項を予想、帰納法で証明

数Ⅲ

座標上での回転移動$\rightarrow$複素数平面で考えてみる
また、複素数平面の問題を式変形だけで考えるのではなく図形問題として考えてみる
$2$次曲線上の点$\rightarrow$例えば楕円なら$(a\cos\theta,b\sin\theta)$とおくのもありだが、$(as,bt)$とおいて$s^2+t^2=1$としたほうがやりやすかったりする