ベクトルの垂直条件
ベクトルの垂直条件といえばおなじみの$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$がありますね。内積の定義から$θ=\pi/2$でわかります。今回はそれとは違った条件を求めていこうと思います。
求めたい式はこちら
$\rm{PQ}$$\perp \rm{AB} \Longleftrightarrow $$ \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{QB} = $$ \overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{QA} $
右の式を変形して簡単に示せます。
$ \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{QB} = $$ \overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{QA} $
$ \Longleftrightarrow $
$ \overrightarrow{PA} \cdot \left(\overrightarrow{QA} + \overrightarrow{AB}\right) = \left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AB} \right)\cdot \overrightarrow{QA} $
$ \Longleftrightarrow $
$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{QA} $
$ \Longleftrightarrow $
$ \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 $
$ \Longleftrightarrow $
$\rm{PQ}$$\perp \rm{AB} $
$\rm{P}\mapsto \rm{A}$で（左辺）=0となるのでこの式はちょっとした一般化になりますね。
この式で何ができるのか、という話ですが垂心の存在を簡単に示せたりします。
（証明） 垂心の存在
$ \triangle ABC$ について、$B$,$C$から直線$CA$,$AB$に下ろした垂線の交点を$H$とする。
$ BH \perp CA $,$ CH \perp AB $から、$ \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 $
よって$ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 $,$ AH \perp BC $
これより各頂点から対辺に下した三垂線は一点で交わる。
という感じでどこかで使いどころがあるかもしれませんね。
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