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ハイパー演算を拡張したい。

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こんにちは〜〜〜

どうもどうも、ぼくです。
突然ですがみなさん、 ハイパー演算 ってわかりますか?

わからない方ももしかしたらいるかもしれないので説明すると、あれです、
加法、乗法、冪乗、テトレーション、、、とかの一般化のやつです。

んでこのハイパー演算をする演算子をハイパー演算子と呼ぶんですが、
彼らは以下のような表記で人類たちに親しまれています。
$$ \begin{align} \operatorname{hyper0} \left(a, b\right) = \operatorname{hyper}\left(a, 0, b\right) = a ^ {\left(0\right)} b =& b+1 \\ \operatorname{hyper1} \left(a, b\right) = \operatorname{hyper}\left(a, 1, b\right) = a ^ {\left(1\right)} b =& a+b \\ \operatorname{hyper2} \left(a, b\right) = \operatorname{hyper}\left(a, 2, b\right) = a ^ {\left(2\right)} b =& ab = \underbrace{ a+{a+{\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots+{a+{a}}}} }_{\text{長さ}b} \\ \operatorname{hyper3} \left(a, b\right) = \operatorname{hyper}\left(a, 3, b\right) = a ^ {\left(3\right)} b =& a^b = a \uparrow b = \underbrace{ a\times{a\times{\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\times{a\times{a}}}} }_{\text{長さ}b} \\ \operatorname{hyper4} \left(a, b\right) = \operatorname{hyper}\left(a, 4, b\right) = a ^ {\left(4\right)} b =& \,^b a = a \uparrow \uparrow b = \underbrace{ a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^{a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }_{\text{高さ}b} \end{align} \\\cdot \\\cdot \\\cdot \\\operatorname{hyper}n \left(a, b\right) = \operatorname{hyper}\left(a, n, b\right) = a ^ {\left(n\right)} b = \underbrace{ a ^{\left(n-1\right)} a ^{\left(n-1\right)} \cdots ^{\left(n-1\right)} a }_{b \text{ copies of } a} $$
また、クヌースの矢印表記やコンウェイのチェーン表記、Bowerの拡張演算子との関連も示すと、
$$ \operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^ {(n)} b = a \uparrow^{n-2} b = a \rightarrow b \rightarrow (n -2) \quad \mbox{ when } n \ge 3 \\\operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^ {(n)} b = a \langle n \rangle b \quad \mbox{ when } n \ge 1 $$
って感じです。(by Wikipedia )

ぼくの試みは、
n=1なら総和:∑
n=2なら総乗:Π
ってのを拡張するってやつです。

ではいこう。

Hyperの頭文字をとって、Hで書く事にします。
そして、こんなかんじに定義します。
$$ \underset{k=1}{\overset{n}{\;\;\,\huge H^{\small 1}}} a_k:= \sum_{i=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n \\\underset{k=1}{\overset{n}{\;\;\,\huge H^{\small 2}}} a_k:= \prod_{i=1}^{n}a_k=a_1\cdot a_2\cdot a_3 \cdots a_n \\\underset{k=1}{\overset{n}{\;\;\,\huge H^{\small 3}}} a_k:= a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} \\\cdot \\\cdot \\\cdot $$
(\underset{k=1}{\overset{n}{;;,\huge H^{\small m}}} でかかれています)
はい、これで定数だけでなく数列にもハイパー演算を施すことができるようになりました。うれし~
あと上下の$ k=1とn$も変えたりしてね。
$ a_k=a $(定数関数)のときはじめにかいたハイパー演算子たちと一致しますね。

おわり

このでか文字を使いたかっただけ、且つ特に具体例も思いつかなかったのでこれでおわりです。
巨大数関連の研究に使えそうじゃないですか?
あ~、あと先行もあるかもしれないですね。あったら教えてください。
だれかこいつを使ってあげてください。(丸投げ)

投稿日:2021831

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投稿者

ぬるのぬ

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