集合と位相からはじめるユークリッド空間のボレル集合概論

集合$X$の部分集合族$\mathscr{F} \subset \mathscr{P}(X)$に対して，次の３つの条件を満たす時，$\mathscr{F}$を$X$の有限加法族という。

• (FA1) $\emptyset \in \mathscr{F}$

• (FA2) $\forall A \in \mathscr{F}, \ A^c \in \mathscr{F} $

• (FA3) $\forall A, B \in \mathscr{F}, \ A \cup B \in \mathscr{F} $

実数直線$\mathbb{R}$の区間とは，次のいずれかの形をした実数直線の部分集合である。ただし，$a, b \in \mathbb{R}$は$a \lt b$を満たすものとする。

1. $(a, b] = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ a \lt x \le b \}$
2. $(a, +\infty) = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ a \lt x \}$
3. $(-\infty, b] = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \le b \}$
4. $\emptyset \ (\subset \mathbb{R})$

また，実数直線$\mathbb{R}$の開区間と閉区間を次で定める（ただしこれは上で定めた意味での区間ではないことに注意）。

• $(a, b) = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ a \lt x \lt b \}$
• $[a, b] = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ a \le x \le b \}$

さらに，実数直線の区間全体の集合を$\mathscr{I}_1$とする。

$N$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^N$の区間とは，次のいずれかの形をしたの$\mathbb{R}^N$部分集合である。ただし，$a, b \in \mathbb{R}$は$a \lt b$を満たすものとする。

1. $\displaystyle \prod_{i=1}^{N} (a_i, b_i] = \{ (x_1, \cdots, x_N) \in \mathbb{R}^N \ | \ a_i \lt x_i \le b_i, \ i = 1, \cdots, N \}$
2. $\displaystyle \prod_{i=1}^{N} (a_i, +\infty) = \{ (x_1, \cdots, x_N) \in \mathbb{R}^N \ | \ a_i \lt x_i, \ i = 1, \cdots, N \}$
3. $\displaystyle \prod_{i=1}^{N} (-\infty, b_i] = \{ (x_1, \cdots, x_N) \in \mathbb{R}^N \ | \ x_i \le b_i, \ i = 1, \cdots, N \}$
4. $\emptyset \ (\subset \mathbb{R}^N)$

また，$N$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^N$の開区間と閉区間を次で定める（ただしこれは上で定めた意味での区間ではないことに注意）。

• $\displaystyle \prod_{i=1}^{N} (a_i, b_i) = \{ (x_1, \cdots, x_N) \in \mathbb{R}^N \ | \ a_i \lt x_i \lt b_i, \ i = 1, \cdots, N \}$
• $\displaystyle \prod_{i=1}^{N} [a_i, b_i] = \{ (x_1, \cdots, x_N) \in \mathbb{R}^N \ | \ a_i \le x_i \le b_i, \ i = 1, \cdots, N \}$

さらに，$N$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^N$の区間全体の集合を$\mathscr{I}_N$とする。

1. 集合$A, B$が直和であるとは，和集合$A \cup B$において，$A \cap B = \emptyset$を満たすことをいう。このとき，和集合を$A \coprod B$（或いは$A + B$）とかく。
2. 集合$X$の部分集合族$\{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda} \subset \mathscr{P}(X)$が直和であるとは，和集合$\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$において，任意の$\lambda, \mu \in \Lambda, \ \lambda \neq \mu$に対して$A_{\lambda} \cap A_{\mu} = \emptyset$を満たすことをいう。このとき，和集合を$\displaystyle \coprod_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$（或いは$\displaystyle \sum_{\lambda \in \Lambda} A_{\lambda}$）とかく。

$N$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^N$の区間の直和
$$ F = \coprod_{i=1}^{k} I_i, \ I_i \in \mathscr{J}_N \ (i = 1, \cdots, k) $$
を区間塊といい，$\mathbb{R}^N$の区間塊全体の集合を$\mathscr{F}_N$とかく。

集合$X$の部分集合族$\mathscr{B}$に対して，次の３つの条件を満たす時，$\mathscr{B}$を$X$の$\sigma$-加法族という。

1. $\emptyset \in \mathscr{B} $

2. $\forall A \in \mathscr{B}, \ A^c \in \mathscr{B} $

3. $\forall \{A_n \}_{n=1}^{\infty} \subset \mathscr{B}, \ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n $

$N$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^N$の開集合全体の集合（ユークリッド位相）$\mathscr{T}_N$を定理１に適用することで得られる$\sigma$-加法族$\mathscr{B}(\mathscr{T}_N)$を$\mathbb{R}^N$のボレル集合族といい，これを$\mathscr{B}_N$とかく。また，この要素$B \in \mathscr{B}_N$をボレル集合という。