$\begin{align*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\pi^2-4x^2}{\cos x}\space dx&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\pi^2-4x^2)\cdot 2\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\cos (2n-1)x \space dx\\
&=2\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\pi^2-4x^2)\cos(2n-1)x\space dx\\
&=2\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\frac{8(-1)^{n-1}}{(2n-1)^3}\\
&=16\sum_{n\geq1}\frac{1}{(2n-1)^3}\\
&=14\zeta(3)
\end{align*}$
ヲワリ。結果は合ってるね。なんでこれで厳密値に収束するのかは私はわからんです。