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Fourier級数展開の積分への応用 結果だけほしいときに使えるかも

$$\newcommand{D}[0]{\displaystyle} $$

$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\pi^2-4x^2}{\cos x}\space dx&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\pi^2-4x^2)\cdot 2\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\cos (2n-1)x \space dx\\ &=2\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\pi^2-4x^2)\cos(2n-1)x\space dx\\ &=2\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\frac{8(-1)^{n-1}}{(2n-1)^3}\\ &=16\sum_{n\geq1}\frac{1}{(2n-1)^3}\\ &=14\zeta(3) \end{align*}$
ヲワリ。結果は合ってるね。なんでこれで厳密値に収束するのかは私はわからんです。

投稿日:2020118
更新日:2020118

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問題の解答はそのうち追記します

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