Fourier級数展開の積分への応用　結果だけほしいときに使えるかも

$\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\pi^2-4x^2}{\cos x}\space dx&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\pi^2-4x^2)\cdot 2\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\cos (2n-1)x \space dx\\ &=2\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\pi^2-4x^2)\cos(2n-1)x\space dx\\ &=2\sum_{n\geq1}(-1)^{n-1}\frac{8(-1)^{n-1}}{(2n-1)^3}\\ &=16\sum_{n\geq1}\frac{1}{(2n-1)^3}\\ &=14\zeta(3) \end{align*}$
ヲワリ。結果は合ってるね。なんでこれで厳密値に収束するのかは私はわからんです。