級数を求めたい[1]

級数,AMZV

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前置き

この記事はmathlogのアドベントカレンダーの12月12日の分として執筆しています。

本題

今回はこちらの形の級数を扱いますが、$k$の値によって項数が$2^{k-1}$のペースで増えていくので、$k=1,2,3$のときの値を求めます。

$$\ds\sum_{0< n}\frac{\binom{2n}{n}}{n^k2^{2n}}$$

そしてこちらが今回大変お世話になる置換です。崇め奉りましょう。

$$ x\mapsto1-x^2$$

これから先では反復積分を扱いますが、反復積分の表記についてはこの記事を参照してください。

$$(-1)^n\binom{-\frac12}{n}=2^{-2n}\binom{2n}{n}$$

\begin{align} (-1)^n\binom{-\frac12}{n}&=(-1)^n\frac{(-\frac12)\cdots(-\frac{2n-1}{2})}{n!} \\ &=\frac{(2n-1)!!}{2^nn!} \\ &=\frac{(2n)!}{2^nn!(2n)!!} \\ &=2^{-2n}\frac{(2n)!}{(n!)^2} \\ &=2^{-2n}\binom{2n}{n} \end{align}

$$\int_0^1\frac{(1-t)^{-1/2}-1}{t}dt=\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}{n}\binom{-1/2}{n}$$

\begin{align} \int_0^x\frac{(1-t)^{-1/2}-1}{t}dt&=\int_0^x\frac{dt}{t}\left(-1+\sum_{n=0}^\infty\binom{-1/2}{n}(-t)^n\right) \\ &=\int_0^x\sum_{0< n}\binom{-1/2}{n}(-1)^nt^{n-1}dt \\ &=\sum_{0< n}\binom{-1/2}{n}(-1)^n\int_0^xt^{n-1}dt \\ &=\sum_{0< n}\binom{-1/2}{n}(-1)^n\frac{x^n}{n} \end{align}
ここで$x\to1$とすれば定理の主張を得る。

以下、$\ds c=\frac{(1-t)^{-1/2}-1}{t}dt$とおく。

$$\int_0^1a^{k-1}c=\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}{n^k}\binom{-1/2}{n}$$

\begin{align} \int_0^xa^{k-1}c&=\int_0^xa^{k-1}\int_0^t\frac{(1-u)^{-1/2}-1}{u}du \\ &=\int_0^xa^{k-1}\sum_{0< n}\frac{(-1)^nt^n}{n}\binom{-1/2}{n} \\ &=\int_0^xa^{k-2}\int_0^t\frac{du}{u}\sum_{0< n}\frac{(-1)^nu^n}{n}\binom{-1/2}{n} \\ &=\int_0^xa^{k-2}\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}{n}\binom{-1/2}{n}\int_0^tu^{n-1}du \\ &=\int_0^xa^{k-2}\sum_{0< n}\frac{(-1)^nt^n}{n^2}\binom{-1/2}{n} \\ &=\cdots \\ &=\int_0^x\frac{dt}{t}\sum_{0< n}\frac{(-1)^nt^n}{n^{k-1}}\binom{-1/2}{n} \\ &=\sum_{0< n}\frac{(-1)^nx^n}{n^k}\binom{-1/2}{n} \end{align}
となるので$x\to1$として補題の主張を得る。

いくつか具体値を求めていきます。

\begin{align} \ds\int_0^1c&=\int_0^1\frac{(1-t)^{-1/2}-1}{t}dt \\ &=-2\int_1^0\frac{u^{-1}-1}{1-u^2}udu &(t\mapsto1-u^2)\\ &=2\int_0^1\frac{du}{1+u} \\ &=-2\int_0^1z_{1,1} \\ &=-2\zeta(\ol{1}) \\ &=2\ln2 \end{align}

よって、$\ds\sum_{0< n}\frac{\binom{2n}{n}}{n2^{2n}}=2\ln2$です。

\begin{align} \int_0^1ac&=\int_0^1\frac{dt}{t}\int_0^tc \\ &=\int_0^1\frac{dt_1}{t_1}\int_0^{t_1}\frac{(1-t_2)^{-1/2}-1}{t_2}dt_2 \\ &=2\int_0^1\frac{dt_1}{t_1}\int_\sqrt{1-t_1}^{1}\frac{1-t_2}{1-t_2^2}dt_2 &(t_2\mapsto1-t_2^2) \\ &=2\int_0^1\frac{2t_1}{1-t_1^2}dt_1\int_{t_1}^{1}\frac{dt_2}{1+t_2} &(t_1\mapsto1-t_1^2) \\ &=2\int_{0< t_1< t_2<1}\left(\frac{1}{1-t_1}+\frac{1}{-1-t_1}\right)\frac{1}{1+t_2}dt_1dt_2 \\ &=2\left(\int_0^1\frac{dt_2}{1+t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{1-t_1}+\int_0^1\frac{dt_2}{1+t_2}\int_0^{t_2}\frac{dt_1}{-1-t_1}\right) \\ &=-2\left(\int_0^1z_{1,1}z_{1,1+1}+z_{1,1}z_{1,1+0}\right) \\ &=-2(\zeta(\ol1,\ol1)+\zeta(1,\ol1)) \\ &=-2\left(\frac12\zeta(\ol1)^2+\zeta(\ol2)+\frac12\zeta(\ol1)^2\right) \\ &=\zeta(2)-2\zeta(\ol1)^2 \\ &=\frac{\pi^2}{6}-2\ln^22 \end{align}

よって$\ds\sum_{0< n}\frac{\binom{2n}{n}}{n^22^{2n}}=\frac{\pi^2}{6}-2\ln^22$です。

\begin{align} \int_0^1a^2c&=-2\int_0^1(b_0+b_1)^2b_1 \\ &=-2(\zeta(\ol1,\ol1,\ol1)+\zeta(\ol1,1,\ol1)+\zeta(1,\ol1,\ol1)+\zeta(1,1,\ol1)) \\ &=-2\left(-\frac23\ln^32+\frac{\pi^2}{6}\ln2-\zeta(3)\right) \\ &=\frac43\ln^32-\frac{\pi^2}{3}\ln2+2\zeta(3) \end{align}

よって$\ds\sum_{0< n}\frac{\binom{2n}{n}}{n^32^{2n}}=\frac43\ln^32-\frac{\pi^2}{3}\ln2+2\zeta(3)$です。

まとめ

\begin{align} \sum_{0< n}\frac{\binom{2n}{n}}{n2^{2n}} &=2\ln2 \\ \sum_{0< n}\frac{\binom{2n}{n}}{n^22^{2n}}&=\frac{\pi^2}{6}-2\ln^22 \\ \sum_{0< n}\frac{\binom{2n}{n}}{n^32^{2n}}&=\frac43\ln^32-\frac{\pi^2}{3}\ln2+2\zeta(3) \end{align}

これ、一般の$k$についてはAMZVを用いて
$$\sum_{0< n}\frac{\binom{2n}{n}}{n^k2^{2n}}=-2\sum_{i_1,\cdots,i_{k-1}\in\{1,\ol1\}}\zeta({i_1},\cdots,{i_{k-1}},\ol1)$$
と表現できるんですが、冒頭でも言った通り項数が$O(2^k)$で増えていくので計算がどんどん面倒くさくなっていくんですよね。誰か$k=4$の場合とか計算してくれないかな。