任意に選んだn数が互いに素になる確率
互いに素になる確率
高校数学、特に数Aの整数の性質で多用される「互いに素」という性質について、確率と絡めて面白い事実を紹介します。
これは、湧水(ゆうすい)氏のこちらの記事
任意に選んだ2数が互いに素である確率 https://mathlog.info/articles/175
とは別の証明(氏に比べ煩雑ではありますが)を与え、一般に$n$数の場合についても言及するものです。
自然数全体から2つの数を任意に選び出したとき、その2つの数が互いに素である確率は$\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{{\pi}^{2}}$である。
ここで「互いに素」という言葉と$\zeta(s)$という関数について述べておきます。
2つの自然数について、その最大公約数が1であるとき、その2数は互いに素であるという。同様に、$n$個の自然数について、その最大公約数が1であるとき、その$n$個の自然数は互いに素であるという。
式を用いれば、$n$個の自然数$a_1,\cdots,a_n$について、$\gcd(a_1,\cdots,a_n)=1$であることが互いに素であることの必要十分条件である。
リーマンゼータ関数$\zeta(s)$を
$\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}=\frac{1}{1^{s}}+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\cdots$
によって定義する。ここでは、$s$は実数とする。
さて、今から命題1の証明を行いますが、見通しをよくするために、いくつかの式について述べておくことにします。
$\displaystyle1+\frac{1}{n^k}+\frac{1}{(n^k)^2}+\frac{1}{(n^k)^3}+\cdots=\frac{1}{1-\frac{1}{n^k}}$
これは、無限等比級数の公式$\displaystyle\frac{a}{1-r}$で$r=\frac{1}{n^k}$,$a=1$を代入したものです。
$1+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}+\cdots=\left(1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{(2^n)^2}+\cdots\right)\left(1+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{(3^n)^2}+\cdots\right)\left(1+\frac{1}{5^n}+\frac{1}{(5^n)^2}+\cdots\right)\cdots$
右辺を展開すれば、左辺が出ます。(例えば、$\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^n}\cdot1\cdot1\cdot1\cdots$)
$\displaystyle 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{{\pi}^2}{6}$
リーマンゼータ関数の特殊値です。リーマンゼータ関数については、その性質はmathlogにたくさんの記事があると思います。公式3の美しい証明もたくさんあると思いますので、ここでは証明は省略します。
以上を踏まえ、命題1の証明は以下のようになります。
まず、自然数全体から任意に2数を取り出したとき、それらがどちらも2の倍数である確率を考えます。2の倍数は$\frac{1}{2}$の確率で規則的に分布しているので求める確率は$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$です。余事象を考え、取り出した2数の最大公約数が2でない確率は$(1-\frac{1}{2^2})$です。
では次に最大公約数が3でない確率を考えると、これは$(1-\frac{1}{3^2})$と得られることが分かります。では4の場合は、といえばこれは2の倍数に含まれるので考える必要はありません。5の場合は$(1-\frac{1}{5^2})$です.6の場合もまた2の場合と3の場合に含まれるので考る必要がありません。一般に素数でない数はそのどれかの素因数の場合に含まれるので考える必要はありません。つまり素数のときだけを考えればよいです。
これらの確率をすべてかけあわせることで、最大公約数が2(の倍数)でも3(の倍数)でも5(の倍数)でもない…(=互いに素である)確率が求まります。
これを$p_2$とおくと
$p_2=\displaystyle\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)\cdots $
を得ます。
続いてこれを前に挙げた公式を用いて変形します。まず、逆数を取り、
$\displaystyle\frac{1}{p_2}=\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}\right)\left(\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}\right)\left(\frac{1}{1-\frac{1}{5^2}}\right)\left(\frac{1}{1-\frac{1}{7^2}}\right)\cdots$
ここで公式1を右辺の各括弧に用いると、
\begin{align*}
\displaystyle\frac{1}{p_2}=&\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{(2^2)^2}+\frac{1}{(2^2)^3}+\cdots\right) \\
\displaystyle&\times\left(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{(3^2)^2}+\frac{1}{(3^2)^3}+\cdots\right) \\
\displaystyle&\times\left(1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{(5^2)^2}+\frac{1}{(5^2)^3}+\cdots\right) \\
\displaystyle&\times\cdots
\end{align*}
この右辺に注目すると、これは公式2で$n=2$としたものになっているから、
$\displaystyle\frac{1}{p_2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\zeta(2)=\frac{{\pi}^2}{6}$
最後の等式では、公式3を用いました。以上から、
$\displaystyle p_2=\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{{\pi}^{2}}$
を得、命題は示されました。
一般に$n$個の数を選び出してきた場合についても考えてみましょう。
自然数全体から$n$個の数を任意に選び出したとき、その$n$個の数が互いに素である確率は$\frac{1}{\zeta(n)}$である。
命題1の証明と同様の手順に従う。
簡単な考察
最後に簡単な考察をして終わることにしましょう。
リーマンゼータ関数の$s>1$における単調減少性(これは証明は省略しますが、分母が大きくなることから直感的には明らかかと思います。)より、証明中の記法に倣い、
$p_{2}< p_{3}< p_{4}<\cdots$
が分かります。つまり、取り出してくる数が多い程、互いに素である確率は大きくなります。実際、いくつも選んできた数が全て2の倍数であった、ということはなかなか珍しいことは直感的にも分かるかと思います。
ちなみに、
$\displaystyle p_{4}=\frac{1}{\zeta(4)}=\frac{90}{{\pi}^{4}}>0.9$
ですから、選んできた4数が互いに素である確率は90%を超えます。
ところで、
$\displaystyle p_{2}=\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{{\pi}^{2}}>\frac{1}{2}$
であることはお分かりかと思います。したがって、「選んできた2数が互いに素でない確率」を$\bar{p_{2}}$とおくと、
$\bar{p_{2}}< p_{2}$
が分かります。先程の不等式と合わせると、
$\cdots\bar{p_{4}}<\bar{p_{3}}<\bar{p_{2}}< p_{2}< p_{3}< p_{4}<\cdots$
となります。つまり、何個数を選んでもそれが互いに素である確率は互いに素でない確率より大きいということが言えます。
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