連続する自然数の積の和
ドーナツさんの記事を見て,以前私が行ったコンビネーションを使った証明を紹介したいと思いました.
$$\sum_{k=1}^nk(k+1)(k+2) \cdots(k+m)$$
を求めていきます.
$$k(k+1)(k+2)\cdots(k+m)=\frac{(k+m)!}{(k-1)!}=(m+1)!\begin{pmatrix}k+m\\m+1\end{pmatrix}$$より
$$(与式)=(m+1)!\sum_{k=1}^n\begin{pmatrix}k+m\\m+1\end{pmatrix}$$
また$\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k+m\\m+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k+m+1\\m+1\end{pmatrix}$より
$$(m+1)!\sum_{k=1}^n\begin{pmatrix}k+m\\m+1\end{pmatrix}=(m+1)!\sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k+m\\m+1\end{pmatrix}$$
$$
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(m+1)!\sum_{k=1}^n\begin{pmatrix}k+m\\m+1\end{pmatrix} +(m+1)\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(k+m)!}{k!}-\frac{(m+n)!}{(n-1)!}
$$
$$
\ \ \ (m+1)\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(k+m)!}{k!}=\frac{(m+n)!}{(n-1)!}
$$
$m$→$m+1$と置き換えれば
$$
\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(k+m+1)!}{k!}=\sum_{k=1}^n\frac{(k+m)!}{(k-1)!}=\frac{(m+n+1)!}{(m+2)(n-1)!}
$$
よって
$$
\sum_{k=1}^nk(k+1)(k+2)\cdots(k+m)=\frac{n(n+1)(n+2)\cdots(n+m+1)}{m+2}
$$
となる.