0

連続する自然数の積の和

$$$$

ドーナツさんの記事を見て,以前私が行ったコンビネーションを使った証明を紹介したいと思いました.

$$\sum_{k=1}^nk(k+1)(k+2) \cdots(k+m)$$
を求めていきます.

$$k(k+1)(k+2)\cdots(k+m)=\frac{(k+m)!}{(k-1)!}=(m+1)!\begin{pmatrix}k+m\\m+1\end{pmatrix}$$より
$$(与式)=(m+1)!\sum_{k=1}^n\begin{pmatrix}k+m\\m+1\end{pmatrix}$$
また$\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k+m\\m+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k+m+1\\m+1\end{pmatrix}$より
$$(m+1)!\sum_{k=1}^n\begin{pmatrix}k+m\\m+1\end{pmatrix}=(m+1)!\sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix}k+m\\m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}k+m\\m+1\end{pmatrix}$$
$$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(m+1)!\sum_{k=1}^n\begin{pmatrix}k+m\\m+1\end{pmatrix} +(m+1)\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(k+m)!}{k!}-\frac{(m+n)!}{(n-1)!} $$
$$ \ \ \ (m+1)\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(k+m)!}{k!}=\frac{(m+n)!}{(n-1)!} $$
$m$$m+1$と置き換えれば
$$ \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(k+m+1)!}{k!}=\sum_{k=1}^n\frac{(k+m)!}{(k-1)!}=\frac{(m+n+1)!}{(m+2)(n-1)!} $$
よって
$$ \sum_{k=1}^nk(k+1)(k+2)\cdots(k+m)=\frac{n(n+1)(n+2)\cdots(n+m+1)}{m+2} $$
となる.

投稿日:2022212
更新日:202231

投稿者

約数関数、数列関係の記事を中心に書いていきます。 記事の内容に間違いがあれば教えてくれるとありがたいです。

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

コメント

約数関数、数列関係の記事を中心に書いていきます。 記事の内容に間違いがあれば教えてくれるとありがたいです。