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Koecher′s identity とその類似

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$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}} \newcommand{BE}[0]{\begin{equation}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol} \newcommand{D}[0]{\displaystyle} \newcommand{EA}[0]{\end{align*}} \newcommand{EE}[0]{\end{equation}} \newcommand{h}[0]{\boldsymbol{h}} \newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{L}[0]{\left} \newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}} \newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}} \newcommand{R}[0]{\right} $$

$\quad$一般に

${\bf Definition.}\quad (x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_n)$から$(x_1,\cdots,x_i+1,\cdots,x_n)$への重みを$F_i(x_1,\cdots,x_n)$とし,$j\neq k$に対して$F_j(x_1,\cdots,x_n)$$F_k(x_1,\cdots,x_n)$$\textrm{WZ-pair}$であるとき,

$\BA\D\\ \big(F_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,F_n(x_1,\cdots,x_n)\big) \EA$

${\rm WZ~}{n\textrm{-tuple}}$と呼ぶ。

という定義のもと,とくに$n=4$においては

${\bf WZ~}{\bf 4\textrm{-}tuple}$

$\BA\D\\ H(i,j,k,l)=\frac{(a_1+a_3)_{i+k}(a_1+a_4)_{i+l}(a_2+a_3)_{j+k}(a_2+a_4)_{j+l}}{(a_1)_i(a_2)_j(a_3)_k(a_4)_l(-1+a_1+a_2+a_3+a_4)_{i+j+k+l+1}} \EA$

とし

$\BA\D\\ F_1(i,j,k,l)=\frac{H(i,j,k,l)}{a_1+i},\quad F_2(i,j,k,l)=\frac{H(i,j,k,l)}{a_2+j},\quad F_3(i,j,k,l)=-\frac{H(i,j,k,l)}{a_3+k},\quad F_4(i,j,k,l)=-\frac{H(i,j,k,l)}{a_4+l} \EA$

とすると,
$\BA\D\\ (F_1(i,j,k,l),~F_2(i,j,k,l),~F_3(i,j,k,l),~F_4(i,j,k,l)) \EA$

${\rm WZ~}{4\textrm{-tuple}}$である。

という表示があります。
さらに,$l=0$と固定して,$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(1-x,1,x,0)$とすることで

${\bf WZ~}{\bf 3\textrm{-}tuple}$

$\BA\D\\ H(i,j,k)=\frac{(i+k)!(1+x)_{j+k}}{(x)_{k}(i+j+k+1)!} \EA$

とし

$\BA\D\\ F_1(i,j,k)=\frac{H(i,j,k)}{i+1-x},\quad F_2(i,j,k)=\frac{H(i,j,k)}{j+1},\quad F_3(i,j,k)=-\frac{H(i,j,k)}{k+x} \EA$

とすると,
$\BA\D\\ (F_1(i,j,k),~F_2(i,j,k),~F_3(i,j,k)) \EA$

${\rm WZ~}{3\textrm{-tuple}}$である。

となります。
いま,$(0,0,0)$を始点として$(1,0,0)$ずつ進んだ経路の重みの和は

$\BA\D\\ \sum_{n=0}^\infty F_1(n,0,0)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n-x)} \EA$

となります。

$\rm Koecher{'}s~identity$

$\BA\D\\ &F_1(n,2n,-n)+F_2(n+1,2n,-n)+F_2(n+1,2n+1,-n)-F_3(n+1,2n+2,-n-1)\\ =&\frac{1}{n+1-x}\frac{(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(2n+1)!}+\frac{1}{2n+1}\frac{(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(2n+2)!}+\frac{1}{2n+2}\frac{(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(2n+3)!}+\frac{1}{-n-1+x}\frac{(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n-1}(2n+3)!}\\ =&\frac{1}{n+1-x}\frac{(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(2n+1)!}+\frac{1}{2n+1}\frac{(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(2n+2)!}+\frac{1}{2n+2}\frac{(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(2n+3)!}+\frac{(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(2n+3)!}\\ =&\frac{1}{n+1-x}\frac{(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(2n+1)!}+\frac{1}{2n+1}\frac{(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(2n+2)!}+\frac{2n+3}{2n+2}\frac{(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(2n+3)!}\\ =&\L(\frac{2n+2}{n+1-x}+\frac{1}{2n+1}+\frac{n+1+x}{2n+2}\R)\frac{(-1)^{n}(1-x,1+x)_{n}}{(2n+2)!} \EA$

となるので,

$\BA\D\\ &\sum_{n=0}^\infty (F_1(n,2n,-n)+F_2(n+1,2n,-n)+F_2(n+1,2n+1,-n)-F_3(n+1,2n+2,-n-1))\\ =&\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2n}{n-x}+\frac{1}{2n-1}+\frac{n+x}{2n}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x,1+x)_{n-1}}{(2n)!} \EA$

となり,

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n-x)}=\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2n}{n-x}+\frac{1}{2n-1}+\frac{n+x}{2n}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x,1+x)_{n-1}}{(2n)!} \EA$

が得られます。
$\color{red}{✔}~$厳密には$(n,2n,-n)$$(n,0,0)$をつなぐ経路が$0$に収束することを示す必要があります。

これにおいて,$x\to -x$としたものを足すことで

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2-x^2}=\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{4n^2}{n^2-x^2}+\frac{2n+1}{2n-1}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x,1+x)_{n-1}}{(2n)!} \EA$

引くことで

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n(n^2-x^2)}=\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{4n}{n^2-x^2}+\frac{1}{n}\R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x,1+x)_{n-1}}{(2n)!} \EA$

が得られます。
これらの式において,$(1-x,1+x)_{n-1}$を残しつつ,$(2n)!$を一般化するには,$(k,2,-1)$ずつ進めばよいです。
具体的な$k$について計算してみます。

$(2,2,-1)$ずつ進む

$\BA\D\\ &F_1(2n,2n,-n)+F_1(2n+1,2n,-n)+F_2(2n+2,2n,-n)+F_2(2n+2,2n+1,-n)-F_3(2n+2,2n+2,-n-1)\\ =&\frac{1}{2n+1-x}\frac{n!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+1)!}+\frac{1}{2n+2-x}\frac{(n+1)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+2)!} +\frac{1}{2n+1}\frac{(n+2)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+3)!}+\frac{1}{2n+2}\frac{(n+2)!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(3n+4)!} +\frac{1}{-n-1+x}\frac{(n+1)!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n-1}(3n+4)!}\\ =&\frac{1}{2n+1-x}\frac{n!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+1)!}+\frac{1}{2n+2-x}\frac{(n+1)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+2)!} +\frac{1}{2n+1}\frac{(n+2)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+3)!}+\frac{1}{2n+2}\frac{(n+2)!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(3n+4)!} +\frac{(n+1)!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(3n+4)!}\\ =&\frac{1}{2n+1-x}\frac{n!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+1)!}+\frac{1}{2n+2-x}\frac{(n+1)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+2)!} +\frac{1}{2n+1}\frac{(n+2)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+3)!}+\frac{1}{2n+2}\frac{(n+1)!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(3n+3)!}\\ =&\frac{(3n+2)(3n+3)}{(n+1)(2n+1-x)}\frac{(n+1)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+3)!}+\frac{3n+3}{2n+2-x}\frac{(n+1)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+3)!} +\frac{n+2}{2n+1}\frac{(n+1)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+3)!}+\frac{n+1+x}{2n+2}\frac{(n+1)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(3n+3)!}\\ =&\L(\frac{(3n+2)(3n+3)}{(n+1)(2n+1-x)}+\frac{3n+3}{2n+2-x}+\frac{n+2}{2n+1}+\frac{n+1+x}{2n+2}\R)\frac{(-1)^n(n+1)!(1-x,1+x)_{n}}{(3n+3)!} \EA$

となるので,

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n-x)} =\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{3(3n-1)}{2n-1-x}+\frac{3n}{2n-x}+\frac{n+1}{2n-1}+\frac{n+x}{2n}\R)\frac{(-1)^{n-1}n!(1-x,1+x)_{n-1}}{(3n)!} \EA$

が得られます。
これにおいて,$x\to -x$としたものを足すことで

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2-x^2} =\sum_{n=1}^\infty \L( \frac{4n+1}{2n-1}+\frac{6(2n-1)(3n-1)}{(2n-1)^2-x^2}+\frac{12n^2}{(2n)^2-x^2}\R)\frac{(-1)^{n-1}n!(1-x,1+x)_{n-1}}{(3n)!} \EA$

引くことで

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n(n^2-x^2)} =\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{1}{n}+\frac{6n}{(2n)^2-x^2}+\frac{6(3n-1)}{(2n-1)^2-x^2}\R)\frac{(-1)^{n-1}n!(1-x,1+x)_{n-1}}{(3n)!} \EA$

が得られます。

$(3,2,-1)$ずつ進む

$\BA\D\\ &F_1(3n,2n,-n)+F_1(3n+1,2n,-n)+F_1(3n+2,2n,-n)+F_2(3n+3,2n,-n)+F_2(3n+3,2n+1,-n)-F_3(3n+3,2n+2,-n-1)\\ =&\frac{1}{3n+1-x}\frac{(2n)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+1)!}+\frac{1}{3n+2-x}\frac{(2n+1)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+2)!}+\frac{1}{3n+3-x}\frac{(2n+2)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+3)!}+\frac{1}{2n+1}\frac{(2n+3)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+4)!}+\frac{1}{2n+2}\frac{(2n+3)!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(4n+5)!}+\frac{1}{-n-1+x}\frac{(2n+2)!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n-1}(4n+5)!}\\ =&\frac{1}{3n+1-x}\frac{(2n)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+1)!}+\frac{1}{3n+2-x}\frac{(2n+1)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+2)!}+\frac{1}{3n+3-x}\frac{(2n+2)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+3)!}+\frac{1}{2n+1}\frac{(2n+3)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+4)!}+\frac{1}{2n+2}\frac{(2n+3)!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(4n+5)!}+\frac{(2n+2)!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(4n+5)!}\\ =&\frac{1}{3n+1-x}\frac{(2n)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+1)!}+\frac{1}{3n+2-x}\frac{(2n+1)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+2)!}+\frac{1}{3n+3-x}\frac{(2n+2)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+3)!}+\frac{1}{2n+1}\frac{(2n+3)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+4)!}+\frac{1}{2n+2}\frac{(2n+2)!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(4n+4)!}\\ =&\frac{(4n+2)(4n+3)(4n+4)}{(2n+1)(2n+2)}\frac{1}{3n+1-x}\frac{(2n+2)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+4)!} +\frac{(4n+3)(4n+4)}{2n+2}\frac{1}{3n+2-x}\frac{(2n+2)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+4)!} +(4n+4)\frac{1}{3n+3-x}\frac{(2n+2)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+4)!}+\frac{1}{2n+1}\frac{(2n+3)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+4)!}+\frac{1}{2n+2}\frac{(2n+2)!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}(4n+4)!}\\ =&\L(\frac{(4n+2)(4n+3)(4n+4)}{(2n+1)(2n+2)}\frac{1}{3n+1-x}+\frac{(4n+3)(4n+4)}{2n+2}\frac{1}{3n+2-x}+(4n+4)\frac{1}{3n+3-x}+\frac{2n+3}{2n+1}+\frac{n+1+x}{2n+2}\R)\frac{(2n+2)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}(4n+4)!} \EA$

となるので,

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n-x)} =\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2(4n-2)(4n-1)}{(2n-1)(3n-2-x)}+\frac{2(4n-1)}{3n-1-x}+\frac{4n}{3n-x}+\frac{2n+1}{2n-1}+\frac{n+x}{2n}\R)\frac{(-1)^{n-1}(2n)!(1-x,1+x)_{n-1}}{(4n)!} \EA$

となります。また,

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2-x^2} &=\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{4(3n-2)(4n-2)(4n-1)}{(2n-1)((3n-2)^2-x^2)}+\frac{4(3n-1)(4n-1)}{(3n-1)^2-x^2}+\frac{24n^2}{(3n)^2-x^2}+\frac{6n+1}{2n-1}\R)\frac{(-1)^{n-1}(2n)!(1-x,1+x)_{n-1}}{(4n)!}\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n(n^2-x^2)} &=\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{4(4n-2)(4n-1)}{(2n-1)((3n-2)^2-x^2)}+\frac{4(4n-1)}{(3n-1)^2-x^2}+\frac{8n}{(3n)^2-x^2}+\frac{1}{n}\R)\frac{(-1)^{n-1}(2n)!(1-x,1+x)_{n-1}}{(4n)!} \EA$

となります。

$(k,2,-1)$ずつ進む

$\BA\D\\ &\sum_{j=0}^{k-1} F_1(kn+k-j-1,2n,-n)\\ =&\sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{k(n+1)-j-x}\frac{((k-1)(n+1)-j)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}((k+1)(n+1)-j-1)!}\\ =&(-1)^n(1-x,1+x)_n\sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{k(n+1)-j-x}\frac{((k-1)(n+1)-j)!}{((k+1)(n+1)-j-1)!} \EA$

また,

$\BA\D\\ F_2(kn+k,2n,-n)&=\frac{1}{2n+1}\frac{((k-1)(n+1)+1)!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}((k+1)(n+1))!}\\ F_2(kn+k,2n+1,-n)-F_3(kn+k,2n+2,-n-1) &=\frac{1}{2n+2}\frac{((k-1)(n+1)+1)!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n}((k+1)(n+1)+1)!}+\frac{1}{-n-1+x}\frac{((k-1)(n+1))!(1+x)_{n+1}}{(x)_{-n-1}((k+1)(n+1)+1)!}\\ &=\frac{n+1+x}{2n+2}\frac{((k-1)(n+1))!(1+x)_{n}}{(x)_{-n}((k+1)(n+1))!} \EA$

となり,

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n-x)} =\sum_{n=1}^\infty \L(\L(\frac{(k-1)n+1}{2n-1}+\frac{n+x}{2n}\R)\frac{1}{\binom{(k+1)n}{2n}} +\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(k+1)n-j}{kn-j-x}\frac{1}{\binom{(k+1)n-j}{2n}} \R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x,1+x)_{n-1}}{(2n)!} \EA$

が得られます。また,

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-x^2} &=\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2kn+1}{2(2n-1)}\frac{1}{\binom{(k+1)n}{2n}} +\sum_{j=0}^{k-1}\frac{((k+1)n-j)(kn-j)}{(kn-j)^2-x^2}\frac{1}{\binom{(k+1)n-j}{2n}} \R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x,1+x)_{n-1}}{(2n)!}\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n^2-x^2)} &=\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{1}{2n}\frac{1}{\binom{(k+1)n}{2n}} +\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(k+1)n-j}{(kn-j)^2-x^2}\frac{1}{\binom{(k+1)n-j}{2n}} \R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x,1+x)_{n-1}}{(2n)!} \EA$

となります。
$x$について冪級数展開したときの$x^{2r}$の係数を比較することで

$\BA\D\\ \zeta(2r+2) &=(-1)^r\sum_{n=1}^\infty \frac{2kn+1}{2(2n-1)}\frac{(-1)^{n-1}{\zeta}_{< n}({\{2\}}^r)}{n^2\binom{2n}{n}\binom{(k+1)n}{2n}} +\sum_{i=0}^r(-1)^i\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{n=1}^\infty\frac{(k+1)n-j}{(kn-j)^{2r-2i+1}}\frac{(-1)^{n-1}{\zeta}_{< n}({\{2\}}^i)}{n^2\binom{2n}{n}\binom{(k+1)n-j}{2n}}\\ \zeta(2r+3) &=(-1)^r\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}{\zeta}_{< n}({\{2\}}^r)}{2n^3\binom{2n}{n}\binom{(k+1)n}{2n}} +\sum_{i=0}^r(-1)^i\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{n=1}^\infty\frac{(k+1)n-j}{(kn-j)^{2r-2i+2}}\frac{(-1)^{n-1}{\zeta}_{< n}({\{2\}}^i)}{n^2\binom{2n}{n}\binom{(k+1)n-j}{2n}} \EA$

となります。
定理として述べておきましょう。

<div style="padding: .5em 1em; margin: 2em 0; border: double 5px #333333; background: #ffffff;box-shadow: 4px 4px 0 #cacaca;"">

${\bf THEOREM.}$
$\quad 0$を除く整数でない複素数$x$と正整数$k$に対して

$\BA\D\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2-x^2} &=\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{2kn+1}{2(2n-1)}\frac{1}{\binom{(k+1)n}{2n}} +\sum_{j=0}^{k-1}\frac{((k+1)n-j)(kn-j)}{(kn-j)^2-x^2}\frac{1}{\binom{(k+1)n-j}{2n}} \R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x,1+x)_{n-1}}{(2n)!}\\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n^2-x^2)} &=\sum_{n=1}^\infty \L(\frac{1}{2n}\frac{1}{\binom{(k+1)n}{2n}} +\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(k+1)n-j}{(kn-j)^2-x^2}\frac{1}{\binom{(k+1)n-j}{2n}} \R)\frac{(-1)^{n-1}(1-x,1+x)_{n-1}}{(2n)!} \EA$

が成り立つ。
また,正整数$k$と非負整数$r$に対して
$\BA\D\\ \zeta(2r+2) &=(-1)^r\sum_{n=1}^\infty \frac{2kn+1}{2(2n-1)}\frac{(-1)^{n-1}{\zeta}_{< n}({\{2\}}^r)}{n^2\binom{2n}{n}\binom{(k+1)n}{2n}} +\sum_{i=0}^r(-1)^i\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{n=1}^\infty\frac{(k+1)n-j}{(kn-j)^{2r-2i+1}}\frac{(-1)^{n-1}{\zeta}_{< n}({\{2\}}^i)}{n^2\binom{2n}{n}\binom{(k+1)n-j}{2n}}\\ \zeta(2r+3) &=(-1)^r\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}{\zeta}_{< n}({\{2\}}^r)}{2n^3\binom{2n}{n}\binom{(k+1)n}{2n}} +\sum_{i=0}^r(-1)^i\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{n=1}^\infty\frac{(k+1)n-j}{(kn-j)^{2r-2i+2}}\frac{(-1)^{n-1}{\zeta}_{< n}({\{2\}}^i)}{n^2\binom{2n}{n}\binom{(k+1)n-j}{2n}} \EA$

が成り立つ。

投稿日:2022214

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