極限の問題

$\Gamma$関数の性質$\Gamma(1+x)=x\Gamma(x)$を用いると,
$$(2^x -1)\Gamma(x)=\frac{1}{x}(2^x -1)\Gamma(1+x).$$
ここで,微分係数の定義
$$f'(x)=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
を用いることを考える.$\Gamma(1)=1$に注意して,
\begin{align*} \lim_{x \to 0} (2^x-1)\Gamma(x)&=\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}(2^x -1)\Gamma(1+x)\\&=\lim_{x\to 0} \frac{2^x -2^0}{x-0} \Gamma(1+x)\\&=2^x\log 2|_{x=0}\\&=\log 2 \end{align*}