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置換積分を視覚的に理解する!!

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1. はじめに

 本記事では, 置換積分(定積分に限る)を視覚的に解説します. 証明はしません.

2. 解説

置換積分

$$ f は連続関数であり, g は C^1 級(微分可能で導関数も連続)であるとする. t = g(x) とおくと,$$
$$ \int_{c}^{d}f(t)dt = \int_{a}^{b}(f∘g)(x)g'(x)dx. $$

 以下は $[c, d]$ 上のグラフ $f: [c, d] → R$ です.

[c, d] 上の関数 f [c, d] 上の関数 f

 このグラフを [a, b] 上に描くことを考えます. 
 まず, $[c, d] = g([a, b])$であることに注意しましょう. $t_0\in[c, d]$に対し,$y_0 = g(t_0)$と置きます. $x_0 ∈ [a, b]$$t_0$に対応しているとすると, $x_0$$[a, b]$上の関数での値はもちろん$y_0$であって欲しいです. $x_0$$y_0$に対応させるには, $f∘g$で送ればよいですね. よって [a, b] 上でのグラフは$f∘g$です.

[c, d] 上の関数 f と [a, b] 上の関数 f∘g [c, d] 上の関数 f と [a, b] 上の関数 f∘g

 表にすると以下のようになります. 当たり前のことをやっているだけですね.

[a, b][c, d]R
xg(x)(f∘g)(x)

 ここで注意しておきたいのですが, $(f∘g)([a, b]) = g([c, d])$ です. 上の図は値域が一致している場合を描いているのではありません. これは一般に言えることです.(当たり前ですが.)

 さて, 図2の2つのグラフの積分を考えましょう. もちろん
$$\int_{c}^{d}f(t)dt = \int_{a}^{b}(f∘g)(x)dx.$$
ではありません. 図からも明らかですが値域が同じでも幅が違いますよね. しかし, 逆に言えば幅さえ調整すればこの等式(に近いもの)は正しいのです.
 以下の図3のように, グラフ$f$のリーマン和を考えたとき, 1つ1つの短冊の横幅はグラフ$f∘g$の短冊の$g'($$\varDelta$t)倍です. よって, グラフ$f∘g$の短冊の高さを$g'($$\varDelta$t)倍すれば, この2つの積分は等しくなります!!! よって,
$$\int_{c}^{d}f(t)dt = \int_{a}^{b}(f∘g)(x)g'(x)dx.$$
が言えます.

f のリーマン和と f∘g のリーマン和 f のリーマン和と f∘g のリーマン和

3. おわりに

 最後まで読んでいただきありがとうございました. 置換積分のイメージがなんとなくでもついていただければ嬉しいです.
 また, 間違いなどがあれば指摘していただけるとありがたいです!

投稿日:2022520

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競技数学は未経験の、現代数学を勉強している高校生です。

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