置換積分を視覚的に理解する!!

1. はじめに

　本記事では, 置換積分（定積分に限る）を視覚的に解説します. 証明はしません.

2. 解説

　以下は $[c,d]$ 上のグラフ $f:[c,d]\to R$ です.

[c, d] 上の関数 f

　このグラフを [a, b] 上に描くことを考えます.　
　まず, $[c,d]=g([a,b])$であることに注意しましょう. $t_0\in [c,d]$に対し,$y_0=g(t_0)$と置きます. $x_0\in [a,b]$ が$t_0$に対応しているとすると, $x_0$の$[a,b]$上の関数での値はもちろん$y_0$であって欲しいです. $x_0$を$y_0$に対応させるには, $f\circ g$で送ればよいですね. よって [a, b] 上でのグラフは$f\circ g$です.

[c, d] 上の関数 f と [a, b] 上の関数 f∘g

　表にすると以下のようになります. 当たり前のことをやっているだけですね.

　ここで注意しておきたいのですが, $(f\circ g)([a,b])=g([c,d])$ です. 上の図は値域が一致している場合を描いているのではありません. これは一般に言えることです.（当たり前ですが.）

　さて, 図2の2つのグラフの積分を考えましょう. もちろん
$${\int }_c^{d}f(t)dt={\int }_a^b(f\circ g)(x)dx.$$
ではありません. 図からも明らかですが値域が同じでも幅が違いますよね. しかし, 逆に言えば幅さえ調整すればこの等式（に近いもの）は正しいのです.
　以下の図3のように, グラフ$f$のリーマン和を考えたとき, 1つ1つの短冊の横幅はグラフ$f\circ g$の短冊の$g^{\prime }($$\Delta$t)倍です. よって, グラフ$f\circ g$の短冊の高さを$g^{\prime }($$\Delta$t)倍すれば, この2つの積分は等しくなります!!! よって,
$${\int }_c^{d}f(t)dt={\int }_a^b(f\circ g)(x)g^{\prime }(x)dx.$$
が言えます.

f のリーマン和と f∘g のリーマン和

3. おわりに

　最後まで読んでいただきありがとうございました. 置換積分のイメージがなんとなくでもついていただければ嬉しいです.
　また, 間違いなどがあれば指摘していただけるとありがたいです!