8/10　今日考えたこと

\begin{align*} \sum_{cyc}\dfrac{a}{a+nb}&=\sum_{cyc}\dfrac{a^2}{a^2+nb}\\ &\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+n(ab+bc+ca)}\\ \end{align*}
\begin{align*} &\iff \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+n(ab+bc+ca)} \geq \dfrac{3}{n+1}\\ &\iff (n+1)(a+b+c)^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2+n(ab+bc+ca)) \\ &\iff (n-2)(a^2+b^2+c^2) \geq (n-2)(ab+bc+ca) \\ &\iff (a^2+b^2+c^2)\geq (ab+bc+ca) \end{align*}

\begin{align*} \sum_{cyc}\dfrac{a}{na+b}&=\dfrac{3}{n}-\dfrac{1}{n}\sum_{cyc}\dfrac{b}{na+b} \leq \dfrac{3}{n}-\dfrac{1}{n}(\dfrac{3}{n+1}) =\dfrac{3}{n+1} \\ \end{align*}

簡単な式変形から
\begin{align*} (n-2m)(a^2+b^2+c^2) \geq (n-2m)(ab+bc+ca) \end{align*}
が成り立つから
$$n-2m>0 \iff n \geq 2m+1$$
が条件