p角数をpで割った余りについて

n番目のp角数をP(p,n)と表すとする。

このとき、
$$ P(p,n) \equiv P(p,n +p) \pmod{p} 　が成り立つ。 $$
ただし、このときpが4の倍数のとき、正整数kを用いて
$$ P(4k,n) \equiv P(4k,n+2k) \pmod{4k} 　が成り立つ。 $$
また、非負整数mを用いて
$$ P(p,m+1) \equiv P(p,p-m+1) \pmod{p} 　が成り立つ。 $$

これらの証明方法$$ P(p,n)= \frac{(p-2)n^2-(p-4)n}{2} 　 $$
に代入した後、2つのp角数の差がpの倍数であることが簡単な計算により確認できる。

Amane's Theorem

追記(2022/8/14)
$$ n \equiv 0,2 \pmod{p} \Rightarrow P(p,n) \equiv 0 \pmod{p} 　が成り立つ。 $$

pが平方数の場合、
$$ P(p,1+m \sqrt{p} ) \equiv 1 \pmod{p} 　が成り立つ。 $$

$$ また、p=a^b と表されるとき、(a,bは正整数) $$
$$ P( a^{b} ,1+m a^{b-1} ) \equiv 1 \pmod{ a^{b} } 　が成り立つ。 $$

Amane's perfect power Theorem
まだ一週間もたってないけど頑張ります

追記(2022/8/15)
非負整数をlという文字からmに変更しました