ナビエ-ストークス方程式の弱解の存在と一意性と滑らかさの初等的予想 (2023.9.25 3:39 最終改訂)

$\mathbb{R}^N$上の任意の定数係数線型偏微分作用素$P$の基本解, すなわち
$PE=\delta$
を満たす$E \in \mathcal{D}^{\prime}$を取ると, 台がコンパクトな超関数$\, f \in \mathcal{E}^{\prime}$または台がコンパクトな$C^{\infty}$-級関数$\, f \in C_0^{\infty}$について, 方程式
$Pu=f$
の解$u$のひとつは$u=E * f \in \mathcal{D}^{\prime}$または$u=E * f \in C^{\infty}$で与えられる.

ここで$\, f \in \mathcal{E}^{\prime}$ならば
$\langle E*f, \varphi \rangle = \langle E(x), \langle \,f(y), \varphi(x+y) \rangle \rangle,$

$\, f \in C_0^{\infty}$ならば
$(E*f)(x)=\langle E(y), f(x-y) \rangle.$

[弱解の存在性の直観的議論]

任意の$\varphi\in\mathcal{D}_\sigma$に対して$\mathrm{div}(\varphi)=0$だから部分積分により
$$\langle \nabla\mathfrak{p}, \varphi\rangle=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} \sum_{i=1}^{3} (\nabla\mathfrak{p})^i(t, x)\varphi^i(t, x)dtdx=-\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R }^3}\mathfrak{p}(t, x)\mathrm{div}(\varphi)(t, x)dtdx=0.$$
逆に$v=0 \,\mathrm{in}\, \mathcal{D}'_\sigma$ならば超関数$\mathfrak{p}$が存在して$v=\nabla\mathfrak{p}\ \mathrm{in}\,\mathcal{D}'$であるから(『応用解析ハンドブック』480ページ),

(N-S)' $\partial_t u - \Delta u= f -(u \cdot \nabla)u\,\mathrm{in}\, \mathcal{D}'_\sigma$
の解の存在を示す.

ところで, $W_\sigma^{m, p}$は完備化であったから, 任意の$\{u_n\} \subset V_{0,\sigma}^{m, p}$で, $\lim_{n,{\nu} \to \infty}\|u_n - u_{\nu} \|_{W^{m, p}}=0$である物に対して, 或る$u \in W_\sigma^{m, p}$が存在して,
$\lim_{n \to \infty}\|u_n - u\|_{W^{m, p}}=0$である.

$u$は$\mathcal{D}'$に属する超関数の意味で$\mathrm{div}\,u=0$を満たす(岡本『ナヴィエ-ストークス方程式の数理』40ページ-42ページ).

$f \in C_{0}^{\infty}$であり, $(u_n \cdot \nabla)u_n$の台もコンパクト:
$\mathrm{supp}((u_n \cdot \nabla)u_n^i) \subseteq \bigcup_{j=1}^{3} \, (\mathrm{supp} \, u_n^j) \cap (\mathrm{supp} \, \partial_{x^j}u_{n}^{i}) \subseteq \bigcup_{j=1}^{3} \mathrm{supp}\, u_{n}^{j}$ゆえに$f -(u_n \cdot \nabla)u_n \in C_{0}^{\infty}$である. $\partial_t - \Delta$の基本解を$E$とする. すなわち$\mathbb{R}^3$-値超関数の意味で
$(\partial_t - \Delta)E(t, x)=\delta(t, x) = \delta(t) \otimes \delta(x)$
とする. $$E^{i}(t, x)=\frac{H(t)}{\sqrt{4 \pi t}^3} e^{-\frac{|x|^2}{4t}}=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}^3} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} & (t \gt 0) \\ 0 & (t \le 0) \end{cases}$$であり, $H(t)$はヘビサイド関数, つまり
$H(t)=\begin{cases} 1 & (t \gt 0) \\ 0 & (t \le 0) \end{cases}, \,$
$\langle \delta(t) \otimes \delta(x), \varphi(t, x) \rangle = \langle \delta(t), \langle \delta(x), \varphi(t, x) \rangle \rangle = \varphi(0, 0)$
(柴田良弘-垣田高夫『シュワルツ超関数入門』163ページ-167ページ). そこで『台がコンパクトな超関数の基本定理』により近似方程式
(N-S)'' $\partial_t v_{n} - \Delta v_{n} = f-(u_n \cdot \nabla)u_n$
の解$v_n^i=E^i * ( \, f^i -(u_n \cdot \nabla)u_n^i) \in C^\infty$の存在が言える.

従って(N-S)''の解$$v_{n}^i(t, x)=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E^i(s, y) \, (\, f^i(t-s, x-y) -(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t-s, x-y))dsdy\, .$$ $\{v_n\}$の極限が$\{u_n\}$の極限$u$と一致するように$\{u_n\}$を取り, $u$が(N-S)'の解であることを示す:

$$v_{n}^i(t, x)=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E^i(s, y) \, (\,f^i(t-s, x-y)-(u_n \cdot \nabla)u_n ^i(t-s, x-y))dsdy, u_n \to u \gets v_n.$$

(N-S)''の解$v_{n}$に対して, 台がコンパクトな超関数の積分は正当化されるから([補足2]参照)
$$\langle \partial_t v_{n} - \Delta v_{n}, \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} \sum_{i=1}^{3} \, ( \, \partial_s E^i(s, y) - \Delta E^i(s, y))( \, f^i(t-s, x-y)-(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t-s, x-y))dsdy \, \varphi^i(t, x)dtdx$$
$$=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} \sum_{i=1}^{3} \, \langle \delta(s) \otimes \delta(y), \, f^i(t-s, x-y)-(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t-s, x-y) \rangle \, \varphi^i(t, x)dtdx$$
$$=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} \sum_{i=1}^{3} \, ( \, f^i(t, x)-(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t,x))\, \varphi^i(t, x)dtdx$$
$$= \langle \, f-(u_n \cdot \nabla)u_n, \varphi \rangle.$$

ゆえに上の計算と, 熱作用素の$\mathcal{D}'_\sigma$における連続性
$$|\langle \partial_t v_{n} - \Delta v_{n}, \varphi \rangle - \langle \partial_t u - \Delta u, \varphi \rangle|\,(n\to\infty)$$
と, ヘルダーの不等式と三角不等式より関数の積
$L^2\times L^2 \ni (u, v) \mapsto uv \in L^1$
が連続であること([補足3]参照)により
$$\left| \int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} ((u_n \cdot \nabla)u_n^i(t, x)-(u \cdot \nabla)u^i(t, x)) \varphi^i(t, x) dtdx \right|$$
$$\le \|(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t, x)-(u \cdot \nabla)u^i(t, x)\|_{L^1}\| \varphi^i(t, x) \|_{L^\infty}\to 0\,(n \to \infty)$$
を合わせることで
$$\langle \partial_t u - \Delta u, \varphi \rangle =\langle \, f-(u \cdot \nabla)u, \varphi \rangle$$
が成り立つから,
$$u^i(t, x)=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E^i(s, y) \, (\,f^i(t-s, x-y)-(u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy$$

が(N-S)'の$\mathcal{D}_\sigma'$における超関数の意味での解であることが示された([補足4]参照).

$\partial_t u+(u \cdot \nabla)u - \Delta u - f=0\,\mathrm{in}\,\mathcal{D}'_\sigma$であるから或る $\mathfrak{p}$ が存在して
$\partial_t u+(u \cdot \nabla)u - \Delta u - f=-\nabla \mathfrak{p}\,\mathrm{in}\,\mathcal{D}'.$

(END)

[ふたつの直観的弱解の一致性の議論]
$$u^i(t, x)=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E^i(s, y) \, ( \, f^i(t-s, x-y) - (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy \, ,$$
$$v^i(t, x)=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E^i(s, y) \, ( \, f^i(t-s, x-y) - (v \cdot \nabla)v^i(t-s, x-y))dsdy \, .$$
であるから
$$v^i(t, x)-u^i(t, x)=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}((u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)-(v \cdot \nabla)v^i(t-s, x-y))dsdy=0.$$
(END)

[滑らかさの議論]

任意の自然数$m \gt 4$に対して, $m \gt k+4/1$となる$0$以上の自然数$k$を取ると, ソボレフの埋蔵定理より適当な代表元が存在するという意味で連続な埋め込み
$W_\sigma^{m, 1} \subset B^k$
ゆえに
$W_\sigma^{m, 1}\cap W_\sigma^{m, 2} \subset B^k$
が成り立つことによる.
(猪狩『実解析入門』239ページ, 金子晃『偏微分方程式入門』310ページ-311ページ, 黒田成俊『関数解析』133ページ-137ページ, 谷島賢二『新版 ルベーグ積分と関数解析』213ページ)

$f$は滑らかであり
$\partial_t u + (u \cdot \nabla)u - \Delta u - f=-\nabla \mathfrak{p}$
であるから$-\nabla \mathfrak{p}$は滑らか, 従って$\mathfrak{p}$は滑らかである.

(END)

[$\varPhi$が縮小写像として定義できる可能性の議論]
後に述べる$X$の性質から
$$f-(u\cdot\nabla)u\in X$$
は,
$$\|f(t-s, x-y)-(u\cdot\nabla)u(t-s, x-y)\|_{{X}_{t,x}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}$$
$$\|f(t-s,x-y)\|_{{X}_{t,x}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}+\|(u^1\partial_{x^1}u+u^2\partial_{x^2}u+u^3\partial_{x^3}u)(t-s, x-y)\|_{{X}_{t,x}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}\|$$
$$\le M^2+3C^2M^2\lt\infty$$
より従う.

$$\|\varPhi[u](t-s, x-y)\|_{{X}_{t,x}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}$$
$$\le CM^2+3C^3M^2$$
$$\le M$$
より
$C(1+3C^2)M\le 1.$

[${X}={X}_{t,x}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})$の完備性の議論]

関数列$\{u_n\}\subset {X}$が
$$\|u_n-u_{\nu}\|_{X} =\sum_{m\ge 5}\frac{\|u_n-u_{\nu}\|_{W^{m, 1}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}}{m!}+\sum_{m\ge 5}\frac{\|u_n-u_{\nu}\|_{W^{m, 2}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}}{m!}\to 0\,(n, \nu\to\infty)$$
を満たすとする. この時, $\{u_n\}$は任意の$m\ge 5$に対して完備距離空間$W^m(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})=W^{m, 1}\cap W^{m, 2}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})$のコーシー列であり$\{u_n\}$は収束する. その極限を$u$とする.
$$\|u\|_{X} =\sum_{m\ge 5}\frac{\|u\|_{W^{m, 1}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}}{m!}+\sum_{m\ge 5}\frac{\|u\|_{W^{m, 2}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}}{m!}\lt\infty$$
が成り立たないとすると任意の正数$R$に対して或る自然数$M$が存在して
$$\sum_{M\ge m\ge 5}\frac{\|u\|_{W^{m, 1}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}}{m!}+\sum_{M\ge m\ge 5}\frac{\|u\|_{W^{m, 2}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}}{m!}\gt R$$
が成り立つ. $\{u_n\}$は任意の$m\ge 5$に対して$W^m(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})$で収束するから十分大きな$N$が存在して$\|u-u_N\|_{W^m(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}\lt 1.$ ゆえに
$\|u\|_{W^m(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}\lt \|u_N\|_{W^m(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}+1$なので
$$\sum_{M\ge m\ge 5}\frac{\|u_N\|_{W^{m, 1}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}+1}{m!}+\sum_{M\ge m\ge 5}\frac{\|u_N\|_{W^{m, 2}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}+1}{m!}\gt R$$
が成り立つ. これは$\{u_n\}$がコーシー列, 従って有界列であることに反する.
ゆえに$u\in X$である.

$\{u_n\}$が$X$のコーシー列であり
$|\|u_n-u_{\nu}\|_{W^{m, p}}-\|u_n-u\|_{W^{m, p}}|\le \|u-u_{\nu}\|_{W^{m, p}}\to 0\,(\nu\to\infty)$
であるから, ファトゥの補題を数え上げ測度による積分$\sum_{m\ge 5}$に用いて
$$\|u_n-u\|_{X}=\sum_{p=1, 2}\sum_{m\ge 5}\liminf_{\nu\to\infty}\frac{\|u_n-u_{\nu}\|_{W^{m, p}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}}{m!}$$
$$\le\liminf_{\nu\to\infty}\sum_{p=1, 2}\sum_{m\ge 5}\frac{\|u_n-u_{\nu}\|_{W^{m, p}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}}{m!}\to 0\,(n\to\infty)$$を得る. ゆえに$X$の任意のコーシー列は収束するから$X$は完備である.

[$X$の性質の議論]

(積の分離)
ライプニッツの公式より二項係数の和で表される定数$c \gt 1$が, また任意の$m\ge 5$に対してソボレフの埋蔵定理より$m\gt k+4$を満たす自然数$k$と定数$c' \gt 1$が存在して, さらに任意の自然数$m\ge 5$に対して$X\subset W^m=W^{m, 1}\cap W^{m, 2}$の埋め込みの連続性から定数$C' \gt 1$が存在して
$$\|u\|_{B^k}\le c'\|u\|_{W^m}\le C'\|u\|_X$$であり,
$$\left\|(u^i v^i)_{i=1,2,3}\right\|_X$$
$$\le\left\|(c\|u\|_{B^k})\,v\right\|_X$$
$$\le cc'\|u\|_{W^m}\|v\|_X$$
$$\le C'cc'\|u\|_X\|v\|_X$$
よって$X$のひとつめの性質を満たす定数$C=C'cc'$が存在する.

(微分の吸収)
$\partial_{x^j}$
は$X$から$X$への閉作用素であるから閉グラフ定理より$\partial_{x^j}$は有界作用素である.
$\partial_{x^j}$が閉作用素であることを示すために, 点列$\{u_n\}$は$\{u_n\}\subset X, u_n\to u\in X, \partial_{x^j}u_n \to v\in X$を満たすとする.
或る定数$c\gt 1$が存在してシュワルツの不等式より任意の$\varphi\in\mathcal{D}$に対して
$|\langle \partial_{x^j}u_n^i-v^i, \varphi^i\rangle|$
$\le\|\partial_{x^j}u_n^i-v^i\|_{L^2}\|\varphi^i\|_{L^2}$
$\le c\|\partial_{x^j}u_n^i-v^i\|_X\|\varphi^i\|_{L^2}$
$\to 0.$
ゆえに
$\partial_{x^j}u_n \to v$ $\mathrm{in}\,\mathcal{D}'.$
$\partial_{x^j}$は$\mathcal{D}'$で連続であるから
$\partial_{x^j}u_n \to \partial_{x^j}u$ $\mathrm{in}\,\mathcal{D}'.$
従って$v=\partial_{x^j}u, u\in {X}.$
ゆえに$\partial_{x^j}$は閉作用素である.

($E*$の有界性)
$\mathcal{D}$は$X$で稠密である. 実際$\mathcal{D}$は$m\ge 5$に対して$W^{m, p}$で稠密であるから任意の$u\in X, \varepsilon'\gt 0$に対して或る$\rho\in\mathcal{D}, c\gt 0$が存在して
$$\|u(t-s, x-y)-\rho(t-s, x-y)\|_{W^{m, p}_{t, x}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}\lt m\varepsilon'$$
だから
$$\|u(t-s, x-y)-\rho(t-s, x-y)\|_{{X}_{t,x}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}\lt c\varepsilon'$$
である. 以下$u\in\mathcal{D}$とする.
$E*:X\to X$である. 実際,
$E^i(s, y)$は局所可積分であり$\|u^i(t-s,x-y)\|_{X_{t, x}}$は台がコンパクトだから
$$\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)}}E^i(s, y)\|u^i(t-s,x-y)\|_{X_{t, x}}dsdy\lt\infty.$$
従って
$$\left\|\left(\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}E^i(s, y)u^i(t-s,x-y)dsdy\right)_{i=1,2,3}\right\|_{{X}_{t,x}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}$$
$$\le \int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)}}E^i(s, y)\|u^i(t-s,x-y)\|_{X_{t, x}}dsdy+\left\|\left(\int_{U_\varepsilon(0, 0)}E^i(s, y)u^i(t-s,x-y)dsdy\right)_{i=1,2,3}\right\|_{{X}(U_\varepsilon(0, 0))}$$
$$\le\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)}}E^i(s, y)\|u^i(t-s,x-y)\|_{X_{t, x}}dsdy+\int_{U_\varepsilon(0, 0)}\left\|\left(E^i(s, y)u^i(t-s,x-y)\right)_{i=1,2,3}\right\|_{{X}(U_\varepsilon(0, 0))}dsdy$$
$$\le\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)}}E^i(s, y)\|u^i(t-s,x-y)\|_{X_{t, x}}dsdy+\int_{U_\varepsilon(0, 0)}|E(s,y)|dsdy\|u(t-s, x-y)\|_{{X}_{t, x}(U_\varepsilon(0, 0))}$$
$$\lt\infty.$$

よって$E*u\in X.$

点列$\{u_n\}\subset X$は$\|u_n(t-s, x-y)-u(t-s, x-y)\|_{{X}_{t,x}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0))}}\to 0$を満たすとする. この時, 任意の$\varepsilon'\gt 0$に対して或る自然数$N$が存在して任意の$n\gt N$に対して
$\|u_n(t-s,x-y)-u(t-s,x-y)\|_{{X}_{t,x}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0))}}\lt \varepsilon'$
であるから, 或る定数$c\gt 0$が存在して
$$\left\|\left(\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}E^i(s, y)(u_n^i(t-s,x-y)-u^i(t-s,x-y))dsdy\right)_{i=1,2,3}\right\|_{{X}_{t,x}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)})}$$
$$\le\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)}}E^i(s, y)\|u_n^i(t-s,x-y)-u^i(t-s,x-y)\|_{X_{t, x}}dsdy+\left\|\left(\int_{U_\varepsilon(0, 0)}E^i(s, y)(u_n^i(t-s,x-y)-u^i(t-s,x-y))dsdy\right)_{i=1,2,3}\right\|_{{X}(U_\varepsilon(0, 0))}$$
$$\le\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)}}E^i(s, y)\|u_n^i(t-s,x-y)-u^i(t-s,x-y)\|_{X_{t, x}}dsdy+\int_{U_\varepsilon(0, 0)}\left\|\left(E^i(s, y)(u_n^i(t-s,x-y)-u^i(t-s,x-y))\right)_{i=1,2,3}\right\|_{{X}(U_\varepsilon(0, 0))}dsdy$$
$$\le\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)}}E^i(s, y)\|u_n^i(t-s,x-y)-u^i(t-s,x-y)\|_{X_{t, x}}dsdy+\int_{U_\varepsilon(0, 0)}|E(s,y)|dsdy\|u_n(t-s-\tau,x-y-\xi)-u(t-s-\tau, x-y-\xi)\|_{{X}_{t, x}(U_\varepsilon(0, 0))}$$
$$\le\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3-\overline{U_\varepsilon(0, 0)}}E^i(s, y)\|u_n^i(t-s,x-y)-u^i(t-s,x-y)\|_{X_{t, x}}dsdy+\left(\int_{U_\varepsilon(0, 0)}|E(s,y)|dsdy\right)\varepsilon'$$
ここで
$$E^i(s, y)\|(u_n^i(t-s,x-y)-u^i(t-s,x-y))\|_{X_{t, x}}\le E^i(s, y)\|u_{N+1}(t-s, x-y)\|_{X_{t, x}}+E^i(s, y)\|u(t-s, x-y)\|_{X_{t, x}}.$$
従って, 上の評価とルベーグの収束定理より, $$X\ni u\mapsto\left(\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}E^i(s, y)u^i(t-s,x-y)dsdy\right)_{i=1,2,3}\in X$$
は連続線型作用素, ゆえに有界線型作用素である. 従って$E*$は$X$上の有界線型作用素に一意的に拡張される.

[リプシッツ連続性の議論]

$$\left\|\left(\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y)((v \cdot \nabla)v^i(t-s, x-y)-(u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy\right)_{i=1,2,3}\right\|_X$$
$$\le \sum_{j=1}^3 \left\|\left(\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y)(v^j (\partial_{x^j}v^i(t-s, x-y) - \partial_{x^j}u^i(t-s, x-y)) + (v^j \partial_{x^j}u^i(t-s, x-y)) - (u^j \partial_{x^j}u^i(t-s, x-y)))dsdy\right)_{i=1,2,3}\right\|_X$$
$$\le 3C^2\|v\|_X\|\partial_{x^j}v - \partial_{x^j}u\|_X+3C^2\|v-u\|_X\|\partial_{x^j}u\|_X$$
$$\le 3C^3M\|v-u\|_X+3C^3M\|v-u\|_X$$
$$= 6C^3M\|u- v\|_X.$$

ゆえに$L=6C^3M$とすればよい.

[$\varPhi$が縮小写像である可能性の議論]

上の議論より
$$\left\|\left(\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y)((v \cdot \nabla)v^i(t-s, x-y)-(u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy\right)_{i=1,2,3}\right\|_X\le 6C^3M\|u- v\|_X$$
であり
$$6C^3M\lt 1.$$

[証明を目指した議論]
点列$\{u_n\}\subset S$を$\mathrm{div}\,u_n=0$かつ$u$に収束するように取れる. 実際, 直観的議論の[補足1]で述べたのと同様に$S$の要素で発散がゼロの$\mathbb{R}^3$-値関数は存在する. 関数列$\{u_n\}$を

$u_0\in S$は発散がゼロになる他は任意に取り,
$u_{n+1}=\varPhi[u_n]$

と定めればよい.
$$\varPhi[u_n]^i(t, x)= \int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E^i(s, y) \, ( \, f^i(t-s, x-y) - (u_n \cdot \nabla)u_n^i(t-s, x-y))dsdy$$が従う.

$$\langle \partial_t \varPhi[u_n] - \Delta \varPhi[u_n], \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} \sum_{i=1}^{3} \, ( \, \partial_s E^i(s, y) - \Delta E^i(s, y))( \, f^i(t-s, x-y)-(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t-s, x-y))dsdy \, \varphi^i(t, x)dtdx$$
$$=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} \sum_{i=1}^{3} \, \langle \delta(s) \otimes \delta(y), \, f^i(t-s, x-y)-(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t-s, x-y) \rangle \, \varphi^i(t, x)dtdx$$
$$=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} \sum_{i=1}^{3} \, ( \, f^i(t, x)-(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t,x))\, \varphi^i(t, x)dtdx$$
$$= \langle \, f-(u_n \cdot \nabla)u_n, \varphi \rangle.$$
ゆえに, 直観的議論と同様に極限を取れば
$$\langle \partial_t u - \Delta u, \varphi \rangle =\langle \, f-(u \cdot \nabla)u, \varphi \rangle.$$

かつ
$|\langle \mathrm{div}\,u_n,\varphi\rangle-\langle \mathrm{div}\,u,\varphi\rangle|$
$\le \|\mathrm{div}\,u_n-\mathrm{div}\,u\|_{L^2}\|\varphi\|_{L^2}$
$\le 3C\|u_n-u\|_X\|\varphi\|_{L^2}$
$\to 0$.
ゆえに$\mathrm{div}\,u_n\to\mathrm{div}\,u$が成り立ち, $\mathrm{div}\,u_n=0$であるから$\mathrm{div}\,u=0$である.