ガンマ関数やゼータ関数の擬似部分分数展開
導入
自然対数の冪乗のテイラー展開の係数として、次を定義する。
\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}M_n(x)t^n &=& \left(\frac{-\ln(1-t)}{t}\right)^x\\ \sum_{n=0}^{\infty}M_n(x,y)t^n &=& \left(\frac{-\ln(1-t)}{t}\right)^x (1-t)^{-y} \end{eqnarray}
具体的な値は
こちら
の「t=0における級数展開」の項目。(WolframAlphaの仕様上$M_n(a,b)$としている。)
$M_n(x)$は$x$について、$M_n(x,y)$は$x$と$y$について、$n$次式となる。 (
多項式列
)
$n!M_n(x)$は
二項型多項式列
である。
これを使うと、ゼータ関数やガンマ関数を次のように表せる。
\begin{eqnarray} \Gamma(s) &=&\sum_{n=0}^\infty \frac{M_n(s-1)}{s+n} \\ \Gamma(s)\zeta(s) &=&\sum_{n=0}^\infty \frac{M_n(s-1)}{s-1+n} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \Gamma(s) &=& \int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt \\&=& \int_0^1 (-\ln(1-u))^{s-1}du \quad[u=1-e^{-t},\ t=-\ln(1-u)] \\&=& \int_0^1 \left(\frac{-\ln(1-u)}{u}\right)^{s-1}u^{s-1}du \\&=& \sum_{n=0}^{\infty}M_n(s-1)\int_0^1u^{s+n-1}du \\&=& \sum_{n=0}^\infty \frac{M_n(s-1)}{s+n} \end{eqnarray}
Wikipediaの部分分数分解の記事 に書いてある「分子の次数は分母の次数より小さい」を満たしていないので、「擬似」部分分数展開ということにしておく。
一般化
一般化ゼータ関数（独自）を定義する。
\begin{eqnarray} \zeta^{ \langle a \rangle}(s,q) &:=& \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\binom{a}{n}(q+n)^{-s} \\ \zeta^{ \langle a \rangle}(s) &:=& \zeta^{ \langle a \rangle}(s,1) \end{eqnarray}
これは次のように積分表示できる。
\begin{eqnarray} \zeta^{ \langle a \rangle}(s,q) &=& \frac1{\Gamma(s)}\int_{0}^\infty t^{s-1}e^{-qt}(1-e^{-t})^a dt \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \int_{0}^\infty t^{s-1}e^{-qt}(1-e^{-t})^a dt &=& \int_{0}^\infty t^{s-1}e^{-qt}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\binom{a}{n}e^{-nt} dt \\&=& \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\binom{a}{n}\int_{0}^\infty t^{s-1}e^{-(q+n)t} dt \\&=& \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\binom{a}{n} \int_{0}^\infty \left(\frac{u}{q+n}\right)^{s-1}e^{-u} \frac{du}{q+n} \quad [u=(q+n)t]\\&=& \int_{0}^\infty u^{s-1}e^{-u} du\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\binom{a}{n}(q+n)^{-s} \\&=& \Gamma(s)\zeta^{ \langle a \rangle}(s,q) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \zeta^{ \langle a \rangle}(s,q) &=& \frac1{\Gamma(s)}\sum_{n=0}^\infty M_n(s-1,b)B(s+a+n,b+q) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \text{(左辺)} &=& \frac1{\Gamma(s)}\int_{0}^\infty t^{s-1}e^{-qt}(1-e^{-t})^a dt \\&=& \frac1{\Gamma(s)}\int_{0}^1 (-\ln(1-u))^{s-1}(1-u)^{q}u^a\frac{du}{1-u} \quad[u=1-e^{-t},\ t=-\ln(1-u)] \\&=& \frac1{\Gamma(s)}\int_{0}^1 \left(\frac{-\ln(1-u)}{u}\right)^{s-1} u^{s+a-1}(1-u)^{q-1}du \\&=& \frac1{\Gamma(s)}\int_{0}^1 \left(\frac{-\ln(1-u)}{u}\right)^{s-1}(1-u)^{-b} u^{s+a-1}(1-u)^{b+q-1}du \\&=& \frac1{\Gamma(s)}\sum_{n=0}^\infty M_n(s-1,b)\int_{0}^1 u^{s+a+n-1}(1-u)^{b+q-1}du \\&=& \text{(右辺)} \end{eqnarray}
$b=0,\ q=1$を代入すると、
$
\begin{eqnarray}
\zeta^{ \langle a \rangle}(s) &=&
\frac1{\Gamma(s)}\sum_{n=0}^\infty M_n(s-1)B(s+a+n,1) \\&=&
\frac1{\Gamma(s)}\sum_{n=0}^\infty M_n(s-1)\frac{\Gamma(s+a+n)\Gamma(1)}{\Gamma(s+a+n+1)} \\&=&
\frac1{\Gamma(s)}\sum_{n=0}^\infty \frac{M_n(s-1)}{s+a+n} \\\\
\quad a=0\text{ の時、}\\
\Gamma(s) &=&\sum_{n=0}^\infty \frac{M_n(s-1)}{s+n} \\
\quad a=-1\text{ の時、}\\
\Gamma(s)\zeta(s) &=&\sum_{n=0}^\infty \frac{M_n(s-1)}{s-1+n}
\end{eqnarray}
$