対数冪乗係数

独自定義です。

具体的な値は こちら の「t=0における級数展開」の項目。(WolframAlphaの仕様上$M_n(a,b)$としている。)

数式集（順次追加予定）

$ M_n(x,0)=M_n(x) $

ガンマ関数、ゼータ関数 （証明）
$\displaystyle \zeta^{ \langle a \rangle}(s,q) \coloneqq\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\binom{a}{n}(q+n)^{-s}$
\begin{eqnarray} \Gamma(s)\zeta^{ \langle a \rangle}(s,q) &=& \sum_{n=0}^\infty M_n(s-1,b){\rm B}(s+a+n,b+q) \\ \Gamma(s) &=&\sum_{n=0}^\infty \frac{M_n(s-1)}{s+n} \\ \Gamma(s)\zeta(s) &=&\sum_{n=0}^\infty \frac{M_n(s-1)}{s-1+n} \\ \zeta^{ \langle m \rangle}(-n,q) &=& \left\{ \begin{array}{l} (-1)^n n! M_{n-m}(-n-1,1-q) &{\rm if} \ n \ge m \\ 0 & {\rm otherwise} \end{array} \right. \ \left[m\in\mathbb{Z} \land n\in\mathbb{N}_{\ge0}\right] \\ \zeta(-n,q) &=& (-1)^n n! M_{n+1}(-n-1,1-q) \ \left[n\in\mathbb{N}_{\ge0}\right] \end{eqnarray}

不完全ガンマ関数
$\displaystyle{ \gamma(a,x) = b^a\sum_{n=0}^\infty\frac{M_n(a-1,1-b)}{a+n}(1-e^{-bx})^n \quad [b>0] }$

一般化スターリング数
\begin{eqnarray} \stirling{n}{k}{q} &=& \frac{n!}{k!}M_{n-k}(k,q) \\ \Stirling{n}{k}{q} &=& (-1)^{n-k}\frac{n!}{k!}M_{n-k}(-n-1,1-q) \end{eqnarray}

Gregory coefficients$G_n$
$ G_n = (-1)^nM_n(-1) $

Bernoulli polynomials of the second kind$\psi_n(x)$
$ \psi_n(x) = (-1)^nM_n(-1,-x) $

微積分
$\displaystyle (x)_n \coloneqq \prod_{k=0}^{n-1}(x+k)$

$\beginend{align}{ &\frac{\partial}{\partial y}M_n(x,y) = M_{n-1}(x+1,y) \\ &\int(y)_n dy = n!M_{n+1}(-1,y) +C \\ &M_n(-1,y) = \frac1{n!}\int_{y-1}^y(t)_ndt }$

関数等式
$\beginend{align}{ &M_n(x,y) = (-1)^nM_n(x,1-n-x-y) \\ \ \\ &M_n(x,y) = M_n(x,y-1) + M_{n-1}(x,y) \\ \ \\ &(x+n)M_n(x,y) = xM_n(x-1,y)+(x+y+n-1)M_{n-1}(x,y) \\ \ \\ &(x+n)M_n(x,y) = xM_n(x-1,y+1) + yM_{n-1}(x,y+1) }$