第2種スターリング数の一意性
第2種スターリング数 $\Stirling{n}{k}{}$および その一般化 $\Stirling{n}{k}{q}$は、 下降階乗冪 $\displaystyle (x)_n^- := \prod_{k=0}^{n-1}(x-k)$を使って次のように定義されます。
\begin{eqnarray} x^n &=& \sum_{k=0}^n \Stirling{n}{k}{}(x)_k^- \\ (x+q)^n &=& \sum_{k=0}^n \Stirling{n}{k}{q}(x)_k^- \end{eqnarray}
ところで、このような$\Stirling{n}{k}{},\Stirling{n}{k}{q}$は一つしか存在しないのでしょうか？実は次のようなことが成り立ちます。
$P(x)$を$n$次の多項式、$p_k(x)$を
多項式列
(次数が添字と等しい)とするとき、
$\displaystyle{
P(x) = \sum_{k=0}^n a_k p_k(x)
}$
を満たす数列$\{ a_k\}$は高々１つしか存在しない。
\begin{eqnarray}
P(x)&=& \sum_{k=0}^n a_k p_k(x) \\
&=& \sum_{k=0}^n b_k p_k(x)
\end{eqnarray}
を満たす数列$\{ a_k\},\{ b_k\}$を仮定する。
$p_k(x)$の係数を
$\displaystyle p_k(x) = \sum_{l=0}^k p_{k,l}x^l$
と置く。
\begin{eqnarray}
P(x)&=& \sum_{k=0}^n a_k \sum_{l=0}^k p_{k,l}x^l \\&=&
\sum_{l=0}^n \left(\sum_{k=l}^n a_k p_{k,l}\right)x^l
\end{eqnarray}
同様に、
\begin{eqnarray}
P(x)&=& \sum_{l=0}^n \left(\sum_{k=l}^n b_k p_{k,l}\right)x^l
\end{eqnarray}
よって、
$\displaystyle
\sum_{k=l}^n a_k p_{k,l} =
\sum_{k=l}^n b_k p_{k,l}
\quad[0 \le l \le n] \quad\cdots ①
$
①の$l=n$のとき、
\begin{eqnarray}
a_n p_{n,n} &=& b_n p_{n,n} \\
a_n &=& b_n \quad\cdots ②
\end{eqnarray}
$0 \le N \le n$をとる。
任意の$k[N \le k \le n]$について、$a_k=b_k$と仮定する。(仮定A)
①の$l=N-1$のとき、
$\displaystyle
a_{N-1}p_{N-1,N-1} + \sum_{k=N}^n a_k p_{k,N-1} =
b_{N-1}p_{N-1,N-1} + \sum_{k=N}^n b_k p_{k,N-1}
$
仮定Aより、
$\displaystyle
\sum_{k=N}^n a_k p_{k,N-1} = \sum_{k=N}^n b_k p_{k,N-1}
$
よって、
$a_{N-1}=b_{N-1}$
$[$任意の$k[N \le k \le n]$について、$a_k=b_k]\Rightarrow a_{N-1}=b_{N-1} \ \cdots$ ③
$②,③$より数学的帰納法によって、
任意の$k[0 \le k \le n]$について、$a_k=b_k$
よって、数列$\{ a_k\}$は高々１つしか存在しない。
第2種スターリング数およびその一般化は、漸化式によって存在が示せるので、ただ１つだけ存在します。
$P(x)$を$n$次の多項式、$p_k(x)$を
多項式列
(次数が添字と等しい)とするとき、
$\displaystyle{
P(x) = \sum_{k=0}^n a_k p_k(x)
}$
を満たす数列$\{ a_k\}$はただ１つだけ存在する。