n^n^...^nの逆数和は無理数か

$$ a_n=\frac{1}{f_{m(n)} }とする。 $$
これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、
$$ \begin{align} \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{ \frac{1}{f_{m(n+1)}} }{ \frac{1}{f_{m(n)}} } \right| \\ &= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{ n^{ n^{\cdots n} } }{ (n+1)^{ (n+1)^{ \cdots (n+1)} } } \right| \\ &= 0 \lt 1 \end{align} $$
よって、級数は収束する。

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{f_{m(n)} } :=A_mとする。 $$

このとき、以下の不等式が成立する。

$$ \underbrace{\frac{1}{ (n+1)^{ (n+1)^{\cdots (n+1)} } } }_{m個} \lt A_m - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{f_{m(k)}} \lt {\frac{1}{\underbrace { (n+1)^{ (n+1)^{\cdots (n+1)}-1 }}_{m個} }} \cdot \frac {1}{n}$$

また、

$$ A_m - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{f_{m(k)}} = \frac{1}{(n+1)^{ (n+1)^{\cdots (n+1)} } } + \frac{1}{(n+2)^{ (n+2)^{\cdots (n+2)} } } +\cdots $$

である。

$$また、左辺の不等式は \;\; \frac{1}{f_{m(k)}} \gt 0 \;\; より明らか。$$さらに、右辺の不等式については、

$$ \begin{align} \frac{1}{(n+1)^{ (n+1)^{\cdots (n+1)} } } + \frac{1}{(n+2)^{ (n+2)^{\cdots (n+2)} } } +\cdots &\lt \underbrace{ \frac{1}{(n+1)^{ (n+1)^{\cdots (n+1)} } } }_{m個} + \frac{1}{(n+1)^{ (n+1)^{\cdots (n+1)} +1} } +\cdots \\ &= { \frac{1}{(n+1)^{ (n+1)^{\cdots (n+1)} } } } \cdot \frac{1} {1-{\frac{1}{n+1} } }\\\\ &= { \frac{1}{(n+1)^{ (n+1)^{\cdots (n+1)}-1 } } } \cdot \frac{\frac{1}{n+1} } {1-{\frac{1}{n+1} } }\\\\ &= {\frac{1} { (n+1)^{ (n+1)^{\cdots (n+1)}-1 }} } \cdot \frac {1}{n} \end{align} $$

$$ となる。 ここで、 b_n= \sum_{k=1}^{n} {\frac{n}{f_{m(k)}}} \;\; とおくと、b_nは有理数である。このとき、$$

$$ \frac{n}{(n+1)^{ (n+1)^{\cdots (n+1)} } } \lt n \cdot A_m -b_n \lt \frac{1}{ { (n+1)^{ (n+1)^{\cdots (n+1)}-1 }}} となる。 $$

$$よって任意の ε \gt 0 \; をとってきたとき、ε \gt {\frac{1}{ (N+1)^{ (N+1)^{\cdots (N+1)}-1 }}} \; となる自然数Nをとってくると、$$

$$ 0 \lt A_m - {\frac{b_N}{N}} \lt {\frac{1}{ { (N+1)^{ (N+1)^{\cdots (N+1)}-1}} }}\cdot {\frac{1}{N}} \lt {\frac{ε}{N}} $$
となる。したがって、
$$ 0 \lt \left| A_m - \frac{b_N}{N}\right| \lt \frac{ε}{N} \; が成立する。よってA_mは無理数である。 $$