ディリクレ関数f(x)のx＝πでの微分不可能性の定義に従った考察

$\, f(x)$をディリクレ関数($x$が有理数のとき$\,f(x)=1$, $x$が無理数のとき$\,f(x)=0$)とするとき, $x=\pi$で$\,f(x)$が微分可能なら

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(\pi+h)−f(\pi)}{h}$$

が存在する. $\,f(x)$が$x=\pi$で微分可能なら, $h$をどんなやり方で$0$に近づけても, この極限値が存在しなければならない. しかし特定の近づけ方で$h$を$0$に近づけると, この極限は存在しないことを示そう.

$$\frac{f(\pi+h)−f(\pi)}{h}$$

は, $\pi$が無理数だから$h$が有理数なら$\pi+h$は無理数ゆえ$\,f(\pi+h)−f( \pi )=0$になるから

$$\frac{f(\pi+h)−f(\pi)}{h}=0.$$

$h$が無理数で$h=k−\pi$($k$は有理数)の形をしているとき,
$$\frac{f(\pi+h)−f(\pi)}{h}$$
$$=\frac{f(k)−0}{k−\pi}$$
$$=\frac{1}{k−\pi}$$
これは$k \gt \pi$かつ$k \to \pi$のとき$\infty$になり$k \lt \pi$かつ$k \to \pi$のとき$-\infty$になる.

同様にして数直線の任意の点$x=p$においても$\, f(x)$は微分不可能であることが証明できる. 上の証明で$\,p$が無理数なら$\pi$を$\,p$で置き換えればよく, $\,p$が有理数ならば上で「無理数」と「有理数」を入れ替えればよい. それには厳密には

任意の実数$a \lt b$に対して
$a \lt r \lt b$
となる有理数$r$が存在する,

任意の実数$a \lt b$に対して
$a \lt s \lt b$
となる無理数$s$が存在する

ことを使えばよい.

一般に微分可能な関数は連続だから, $\, f(x)$は不連続ゆえ微分不可能だが, きちんと微分の定義に当てはめて考えた. 不連続性を示すのも簡単である.

$|\, f(x)−f(\pi)|$

は, $x$が無理数かつ$|x−\pi|$が小さくなれば, いくらでも小さくできるが(そもそも$0$だが), $x$が有理数かつ$|x−\pi|$が小さくなれば, 上の誤差は$1$より小さくならない.