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解説高校数学
文献あり

ディリクレ関数f(x)のx=πでの微分不可能性の定義に従った考察

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$\, f(x)$をディリクレ関数($x$が有理数のとき$\,f(x)=1$, $x$が無理数のとき$\,f(x)=0$)とするとき, $x=\pi$$\,f(x)$が微分可能なら

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(\pi+h)−f(\pi)}{h}$$

が存在する. $\,f(x)$$x=\pi$で微分可能なら, $h$をどんなやり方で$0$に近づけても, この極限値が存在しなければならない. しかし特定の近づけ方で$h$$0$に近づけると, この極限は存在しないことを示そう.

$$\frac{f(\pi+h)−f(\pi)}{h}$$

は, $\pi$が無理数だから$h$が有理数なら$\pi+h$は無理数ゆえ$\,f(\pi+h)−f( \pi )=0$になるから

$$\frac{f(\pi+h)−f(\pi)}{h}=0.$$

$h$が無理数で$h=k−\pi$($k$は有理数)の形をしているとき,
$$\frac{f(\pi+h)−f(\pi)}{h}$$
$$=\frac{f(k)−0}{k−\pi}$$
$$=\frac{1}{k−\pi}$$
これは$k \gt \pi$かつ$k \to \pi$のとき$\infty$になり$k \lt \pi$かつ$k \to \pi$のとき$-\infty$になる.

同様にして数直線の任意の点$x=p$においても$\, f(x)$は微分不可能であることが証明できる. 上の証明で$\,p$が無理数なら$\pi$$\,p$で置き換えればよく, $\,p$が有理数ならば上で「無理数」と「有理数」を入れ替えればよい. それには厳密には

任意の実数$a \lt b$に対して
$a \lt r \lt b$
となる有理数$r$が存在する,

任意の実数$a \lt b$に対して
$a \lt s \lt b$
となる無理数$s$が存在する

ことを使えばよい.

一般に微分可能な関数は連続だから, $\, f(x)$は不連続ゆえ微分不可能だが, きちんと微分の定義に当てはめて考えた. 不連続性を示すのも簡単である.

$|\, f(x)−f(\pi)|$

は, $x$が無理数かつ$|x−\pi|$が小さくなれば, いくらでも小さくできるが(そもそも$0$だが), $x$が有理数かつ$|x−\pi|$が小さくなれば, 上の誤差は$1$より小さくならない.

参考文献

[1]
黒田, 微分積分
投稿日:2022927
更新日:13

投稿者

研究の記事の他に, 発見シリーズ, 行間シリーズ, 超入門シリーズも書いています. 北田均『数理解析学概論』新訂版序文の「ほぼ独学と思われる熱心な読者」, 結城浩『数学ガールの秘密ノート/行列が描くもの』あとがきの「類太郎」. 指摘を受けたり自分で誤りに気付いて, 後から訂正することも多々あります. 寛容な目で温かい目で見て頂きたいです. コメント欄は事実でないコメントや侮辱あるいは中傷のコメントで荒らされておりPTSDになったので見ていません. 何かあればXのDMやリプでご連絡を下さい. 悪意のあるきつい言い方をされることが多々ありますが, それさえしなければ指摘については真摯に対応したいです. 普通のご指摘でも私は人間なので必ずしもすぐには対応できないことはご理解ください. 数式, 特に偏微分方程式が好き. 多変数複素解析のヘルマンダーの方法:複素多様体における外微分 d を d=∂′+∂′′ とするとき‚ 既知微分形式 f と未知微分形式 u について ∂′′u=f (ディーバー方程式)の可解性で諸問題を考える方法, 複素多様体における微分幾何として複素モンジュ-アンペール方程式の解の存在, 代数解析の偏微分方程式への応用でも何かを遺したいです.

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研究の記事の他に, 発見シリーズ, 行間シリーズ, 超入門シリーズも書いています. 北田均『数理解析学概論』新訂版序文の「ほぼ独学と思われる熱心な読者」, 結城浩『数学ガールの秘密ノート/行列が描くもの』あとがきの「類太郎」. 指摘を受けたり自分で誤りに気付いて, 後から訂正することも多々あります. 寛容な目で温かい目で見て頂きたいです. コメント欄は事実でないコメントや侮辱あるいは中傷のコメントで荒らされておりPTSDになったので見ていません. 何かあればXのDMやリプでご連絡を下さい. 悪意のあるきつい言い方をされることが多々ありますが, それさえしなければ指摘については真摯に対応したいです. 普通のご指摘でも私は人間なので必ずしもすぐには対応できないことはご理解ください. 数式, 特に偏微分方程式が好き. 多変数複素解析のヘルマンダーの方法:複素多様体における外微分 d を d=∂′+∂′′ とするとき‚ 既知微分形式 f と未知微分形式 u について ∂′′u=f (ディーバー方程式)の可解性で諸問題を考える方法, 複素多様体における微分幾何として複素モンジュ-アンペール方程式の解の存在, 代数解析の偏微分方程式への応用でも何かを遺したいです.