Ramanujan's master theorem の直感的導出
Ramanujan's master theorem (Wikipedia)
留数定理による導出
が出ているためより厳密な証明が欲しい方は参照してください。
$\beginend{align}{ &f(t) = \sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-t)^k \\ \Longrightarrow &\int_0^\infty t^{s-1}f(t)dt = {\rm \Gamma}(s)\phi(-s) }$
ある集合$A\subseteq(0,\infty),$関数$\lambda(a)$が存在して、
$\displaystyle{
\phi(s)=\sum_{a\in A}\lambda(a)a^s
}$
と仮定します。
$\beginend{align}{
\int_0^\infty t^{s-1}f(t)dt &{{}\color{red}=}
\int_0^\infty t^{s-1}\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-t)^kdt \\&{{}\color{red}=}
\int_0^\infty t^{s-1}\sum_{k=0}^\infty \frac{\sum_{a\in A}\lambda(a)a^k}{k!}(-t)^kdt \\&{{}\color{red}=}
\sum_{a\in A}\lambda(a)\int_0^\infty t^{s-1}\sum_{k=0}^\infty \frac{(-at)^k}{k!}dt \\&=
\sum_{a\in A}\lambda(a)\int_0^\infty t^{s-1}e^{-at}dt \\&=
\sum_{a\in A}\lambda(a)a^{-s}\int_0^\infty u^{s-1}e^{-u}dt \quad(u=at) \\&=
{\rm \Gamma}(s)\phi(-s)
}$
一般には正しいとは言い切れない箇所は赤で示してあります。