一般化したゼータ関数の加法定理
定理
$\beginend{eqnarray}{ {\rm DG}(f(n);s,a) &:=& \sum_{n=0}^\infty f(n)(a+n)^{-s} \\ f &:=& f(n)\\ \\ (f*g)(n) &:=& \sum_{k=0}^n f(k)g(n-k) \\ {\rm G}(f(n);z) &:=& \sum_{n=0}^\infty f(n)z^n }$
${\rm DG}(f(n);s,a)$は、 ディリクレ級数型母関数 の一般化になっています。
$\beginend{eqnarray}{ {\rm DG}(f*g;s,a+b) &=& \sum_{k=0}^\infty \binom{-s}{k}{\rm DG}(f;-k,a){\rm DG}(g;s+k,b) }$
二項定理による証明
$\beginend{eqnarray}{ \sum_{k=0}^\infty \binom{-s}{k}{\rm DG}(f;-k,a){\rm DG}(g;s+k,b) &=& \sum_{k=0}^\infty \binom{-s}{k} \sum_{n,m=0}^\infty f(n)g(m)(a+n)^k(b+m)^{-s-k} \\&=& \sum_{n,m=0}^\infty f(n)g(m) \sum_{k=0}^\infty \binom{-s}{k}(a+n)^k(b+m)^{-s-k} \\&=& \sum_{n,m=0}^\infty f(n)g(m)(a+b+n+m)^{-s} \\&=& \sum_{n=0}^\infty (f*g)(n)(a+b+n)^{-s} \\&=& {\rm DG}(f*g;s,a+b) }$
積分による証明
$\beginend{eqnarray}{ \sum_{k=0}^\infty \frac{{\rm DG}(f;s-k,a)}{k!}z^k &=& e^{az}{\rm DG}(fe^{nz};s,a) }$
$\beginend{eqnarray}{ \sum_{k=0}^\infty \frac{{\rm DG}(f;s-k,a)}{k!}z^k &=& \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} \sum_{n=0}^\infty f(n)(a+n)^{k-s} \\&=& \sum_{n=0}^\infty f(n)e^{(a+n)z}(a+n)^{-s} \\&=& e^{az}{\rm DG}(fe^{nz};s,a) }$
$\beginend{eqnarray}{ \binom{-s}{k} &=& (-1)^k\frac{\Gamma(s+k)}{\Gamma(s)k!} \\ {\rm DG}(f;s,a) &=& \frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty t^{s-1}e^{-at}G(f;e^{-t})dt \\ {\rm DG}(fz^n;0,a) &=& {\rm G}(f;z) \\ }$
$\beginend{eqnarray}{ \sum_{k=0}^\infty \binom{-s}{k}{\rm DG}(f;-k,a){\rm DG}(g;s+k,b) &=& \frac1{\Gamma(s)}\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{{\rm DG}(f;-k,a)}{k!}\int_0^\infty t^{s+k-1}e^{-bt}G(g;e^{-t})dt \\&=& \frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty t^{s-1}e^{-bt}G(g;e^{-t}) \left(\sum_{k=0}^\infty\frac{{\rm DG}(f;-k,a)}{k!}(-t)^k\right)dt \\&=& \frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty t^{s-1}e^{-bt}G(g;e^{-t}) e^{-at}{\rm DG}(fe^{-nt};0,a)dt \\&=& \frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty t^{s-1}e^{-(a+b)t}G(f;e^{-t})G(g;e^{-t}) \\&=& \frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty t^{s-1}e^{-(a+b)t}G(f*g;e^{-t}) \\&=& {\rm DG}(f*g;s,a+b) }$
系
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n x^k y^{n-k} = \frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y}}$なので、
$\beginend{eqnarray}{
\frac{x\Phi(x,s,a+b)-y\Phi(y,s,a+b)}{x-y} &=&
\sum_{k=0}^\infty \binom{-s}{k}\Phi(x,-k,a)\Phi(y,s+k,b)
}$
ただし、$\Phi(x,s,a)$は
レルヒの超越関数
収束性は考慮していません。