ルジャンドル記号のsinによる表示
定理
ルジャンドル記号
を$\large(n|p)$で表記します。
$\large{\csc\theta := \frac1{\sin\theta}}$
$\beginend{align}{ &n\in\Z \land p\in \oddP \\ \large &(n|p) = \csc{\frac{2\pi}{p}}\sin{\frac{2\pi n^{\frac{p-1}{2}}}{p}} }$
$m \in \Z_{\ge3} \land a \in \{-1,0,1\}$のとき、
$\large\csc{\frac{2\pi}{m}}\sin{\frac{2\pi a}{m}} = a \normalsize\quad (1)$
$n \equiv a \pmod{m}$のとき、ある$b \in \Z$が存在して、
$n = bm + a$
$\beginend{eqnarray}{
\csc{\frac{2\pi}{m}}\sin{\frac{2\pi n}{m}} &=&
\csc{\frac{2\pi}{m}}\sin \left(2\pi b + \frac{2\pi a}{m}\right) \\&=&
\csc{\frac{2\pi}{m}}\sin{\frac{2\pi a}{m}} \\&=&
a \quad (2) \\
\because(1)
}$
オイラーの基準
より、
$(n|p) \equiv n^{\frac{p-1}{2}} \pmod{p} \land (n|p) \in \{-1,0,1\} \quad (3)$
$\small(2),(3)$より、
$\large(n|p) = \csc{\frac{2\pi}{p}}\sin{\frac{2\pi n^{\frac{p-1}{2}}}{p}}$
系
$\displaystyle{
\sum_{n=1}^\infty (n|p)n^{-s}z^n = \csc{\frac{2\pi}{p}}
\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\left(\frac{2\pi}{p}\right)^{2k+1}{\rm Li}_{s-\frac{p-1}{2}(2k+1)}(z)
\quad (\left|z\right|\lt 1)
}$
ただし、${\rm Li}_s(z)$は
多重対数関数
。
定理１の右辺の$\sin$をテイラー展開すると、次のようになります。
$\displaystyle(n|p) = \csc{\frac{2\pi}{p}}
\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\left(\frac{2\pi}{p}\right)^{2k+1}n^{\frac{p-1}{2}(2k+1)}$
これを左辺に代入すると導けます。
計算してみた結果、かなり怪しいです。
残念ながら、$z=1$を代入して、${\rm Li}_s(1)=\zeta(s)$と置き換えると微妙に違う値になります。
しかし、$z=-1$を代入して、${\rm Li}_s(-1)=(2^{1-s}-1)\zeta(s)$と置き換えると一致します。