$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log{x}}=\infty.$$
素数定理より
$$\pi(x) \sim \frac{x}{\log{x}} \,(x \to \infty)$$
かつ
$$\lim_{x \to \infty} \pi(x)=\infty$$
だから
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log{x}}=\infty.$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log{x}}$$
$$=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}}$$
$$=\lim_{x \to \infty}x=\infty.$$
$x \gt e$のとき$x=e^y$とおくと$y \gt 1$で$x \to \infty$のとき$y \to \infty.$ このとき$\log x = y$であるから$e^y$のマクローリン展開を途中で打ち切れば$$\frac{x}{\log{x}}=\frac{e^y}{y} \gt \frac{1}{y}+1+\frac{y}{2} \to \infty.$$