実数の指数タワーの逆数和は超越数か （筆者のお気持ちふりがな付）
$$ 関数\;\;f_{m(x)} := \underbrace {x^{ x^{\cdots x} } } _{m個}とすると、 \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{f_{m(n)}} は無理数である。 (n\in \mathbb{R}\;\; ,\;\;n \gt e^{\frac{1}{e}}) $$
$$ n \gt e^{\frac{1}{e}} ならば、\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{f_{m(n)}}は収束する。 $$
$$
a_m={f_{m(n)} }とする。
\lim_{m \to \infty} \frac{\frac{1}{a_{m+1}}}{\frac{1}{a_m}}=\lim_{m \to \infty} \frac{a_m}{n^{a_{m}}}である。
$$
$$
\\また、｛a_m｝は上に有界でない単調増加列であるから、
$$
$$
\lim_{m \to \infty} a_m \rightarrow \inftyである。
\\ さらに、n \gt e^{\frac{1}{e}}であるから、
$$
$$
以上より\lim_{m \to \infty} \frac{\frac{1}{a_{m+1}}}{\frac{1}{a_m}}は0に収束する。
$$
$$
\\よって、級数は収束する。\color{blue}【ダランベールの収束判定法を使ったよ！】
$$
$$ b_1=1,b_m=n^{b_{m-1}}とする。 ｛b_m｝: 1,n,n^n \cdots \color{blue}【綺麗な数列を式で表してみる！】 $$
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\lim_{m \to \infty} \frac{b_{m+1}}{b_m}=\infty \: \cdots※
\:より、
$$
$$
g(x)=\sum_{k=1}^{\infty} x^{b_k}
は空隙級数である。\color{blue}【超越数（無理数）をつくる関数をつくった】
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$$
\\よって代数的数αが0\lt\left |α \right |\lt 1を満たすとすると、g(α)は超越数であり、
$$
$$
\\α=\frac{1}{n}は条件を満たす。\color{blue}【xに超越数をつくる値を代入したい】
$$
$$
\\\; \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{n^{b_k}}= \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{f_{m(n)}}であるから、\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{f_{m(n)}}は超越数である。\color{blue}【同値だから超越数！やったね！】
$$
$$
b_1=1,b_m=n^{b_{m-1}}とする。
\lim_{m \to \infty} \frac{b_{m+1}}{b_m}=\infty\:\:である。｛b_m｝: 1,n,n^n \cdots
\\
$$
$$
\color{blue}
【g(x)が超越数をつくるために満たすべき条件で、めちゃくちゃ早く大きくなるということ！】
$$
$$
\lim_{m \to \infty} \frac{b_{m+1}}{b_m}=\lim_{m \to \infty} \frac{n^{b_{m}}}{b_m}である。
$$
$$
\\また、｛b_m｝は上に有界でない単調増加列であるから、 \lim_{m \to \infty} b_m \rightarrow \inftyである。
$$
$$
\\ さらに、n \gt e^{\frac{1}{e}}である。
$$
$$
以上より\lim_{m \to \infty} \frac{b_{m+1}}{b_m}は正の無限大に発散する。
$$
$$ f_{m(x)} := \underbrace {x^{ x^{\cdots x} } } _{m個}とすると、 \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{f_{m(n)}} は無理数である。 (n\in \mathbb{R}\;\; ,\;\;n \gt e^{\frac{1}{e}}) $$
$$ e^{ \frac{1}{e}}より大きい実数なら指数タワーで超越数を作れるということが分かりました。（非加算無限個） $$
あとがき
疲れたぁ！２カ月ぶりに書きました。
(私としては、そんなに詳しく書けてないと思うので、
どんどん追記されていくと思います。)
追記 6/20/2023
仕様変更(?)によって、改行ができていなかったので、
改行し直してみやすくしました。