微分積分と線型代数と簡単な集合位相で学ぶ超関数超入門 (2023年9月13日 19:06 最終改訂)

ここでは, なるべく微分積分(多変数関数の微分積分, 一様収束, ユークリッド空間の位相)と線型代数(線型写像, 線型空間, 双対空間)で超関数を説明してみる.

量子力学や工学にはディラックのデルタ関数という物がある. これは,

$\begin{cases} \delta(x)=0 &(x \neq 0)\\ \delta(0)=\infty \end{cases},$
$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)dx=1,$$
連続関数$\varphi$に対して,
$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\varphi(x)dx=\varphi(0)$$
を満たす何かである. このような関数は存在しない. 殆んど至る所で$0$の関数は積分すれば完全に$0$だからである. しかし最後の性質に注目して, 或る関数空間(関数の成す集合)$\mathcal{D}$について,
$\delta:\mathcal{D} \ni \varphi \mapsto \langle \delta, \varphi \rangle :=\delta(\varphi)=\varphi(0) \in \mathbb{R},$
$\varphi_n$が$\varphi$に$\mathcal{D}$で一様収束する($\varphi_n \rightrightarrows \varphi$)とき, $\langle \delta, \varphi_n \rangle \to \langle \delta, \varphi \rangle$の意味で$\delta$は$\mathcal{D}$で連続な$\mathbb{R}$への線型写像(連続線型汎関数), つまり$\mathcal{D}$で何らかの意味で連続な$\forall{a, b} \in \mathbb{R}, \forall{\varphi, \psi} \in \mathcal{D}, \langle \delta, a\varphi+b\psi \rangle = a\langle \delta, \varphi \rangle + b\langle \delta, \psi \rangle$を満たす写像として$\delta \in \mathcal{D}'$($\mathcal{D}$の双対空間の元)と考えられないだろうか.

以下, $\Omega$を$N$次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^N$の開集合で, 境界$\partial \Omega$は滑らかな超閉曲面, または$\emptyset$(つまり$\Omega = \mathbb{R}^N$)とする. $\Omega$で台がコンパクト(有界閉)な$C^\infty$-級関数というのを考えると後々便利である.

閉包とは簡単に言うと境界を付け足した物である. $\mathrm{supp}(\varphi)$がコンパクト, すなわち$\mathrm{supp}(\varphi)$が或る球に含まれ, 点列$\{x_n\} \subset \mathrm{supp}(\varphi)$が$x$に収束すれば$x \in \mathrm{supp}(\varphi)$となるという意味で大きくなく便利な集合ならば, $\varphi(x)$は$\partial \Omega$の付近で$0$に近く, 原点からの距離が充分大きな$x$に対しては$0$になる.

台がコンパクトということを定義すると超関数を定義することができる. 台がコンパクトというのを仮定しなければ台がコンパクトな超関数(後述)を定義することができる. 超関数を或る関数空間の上の連続線型汎関数として定義したいので, その定義域となる関数空間$\mathcal{D}(\Omega)$を定義する.

ここで, 便利な記号を導入しておく. $0$以上の自然数の組$\alpha=(\alpha_1, …, \alpha_N)$を多重指数と言い, $\alpha$に対して, $|\alpha|=\alpha_1+…+\alpha_N$を$\alpha$の長さと言う. $C^\infty$-級関数$\varphi$の$\alpha$による$|\alpha|$階の偏微分を
$$\partial^\alpha \varphi(x)=\frac{\partial^{|\alpha|} \varphi}{\partial x_1^{\alpha_1}…\partial x_N^{\alpha_N}}(x)$$
と定義する. $\alpha_i=0$となる$i$については$0$階偏微分, すなわち偏微分しないとする. また$$\partial_{x_i}^{k}=\frac{\partial^{k}}{\partial x_i^{k}}, \partial_{x_i}=\frac{\partial}{\partial x_i}$$とする.

与えられた集合に位相(集合の間の写像の連続性を考えられる概念)を入れることは, その集合の有向点族の収束の仕方を定めることに同値である. この位相は基本近傍系を用いて記述することも, 線型位相空間の理論を用いて記述することもできる.

例を挙げる.

$\,p \in \Omega$とする.
(1)$\delta_p:\mathcal{D}(\Omega) \ni \varphi \mapsto \varphi(p) \in \mathbb{R}$
を点$\,p$に台(後述)を置くデルタ超関数と言う. $\Omega=\mathbb{R}^N$のとき$\delta_0$を$\delta$で表す.

(2)$\,f$を$\Omega$の任意のコンパクト集合$K$上でルベーグ可積分(例えば$\Omega$上で連続)な関数(つまり$\int_K |f(x)|dx \lt \infty$)とする. このような関数$\,f$は$\Omega$で局所可積分という. $\Omega$上の局所可積分関数全体の成す集合を$L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$で表す. 局所可積分関数$\,f$は一意に超関数$[f]$を定め, これらは同一視できるから,
$L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega) \subset \mathcal{D}'(\Omega)$
とみなせることを以下に示そう.

$$\langle [f], \varphi \rangle = \int_\Omega f(x)\varphi(x)dx$$

によって写像$[f]:\mathcal{D}(\Omega)\to\mathbb{R}$を定める. $[f]$の線型性は積分の線型性より従う. $\{\varphi_n\}\subset \mathcal{D}(\Omega)$が$\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$に$\mathcal{D}(\Omega)$の位相で収束するとする.
$\mathrm{supp}(\varphi_n) \subseteq K$
となる$n$に依らないコンパクト集合$K \subset \Omega$が存在し, $\varphi_n$は$\varphi$に一様収束するから, 積分の線型性と「積分の絶対値は被積分関数の絶対値の積分以下」より
$|\langle [f], \varphi_n \rangle - \langle [f], \varphi \rangle|$
$$\le \int_{K}|f(x)|\cdot|\varphi_n(x)-\varphi(x)|dx$$
$$\le \int_{K}|f(x)|dx \cdot \sup\{|\varphi_n(x)-\varphi(x)|:x \in \Omega \}$$
$\to 0 \, (n \to \infty)$
ゆえに$[f] \in \mathcal{D}'(\Omega).$

また$\langle [f], \varphi \rangle = \langle [g], \varphi \rangle$と, $\Omega$の殆んど全ての点$x$に対して($f, g$が連続なら全ての点で)$f(x)=g(x)$は同値である. ゆえに殆んど至る所で等しい関数を同一視すれば$\,f$と$[f]$は同一視でき, 各$\,f \in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$に対して$[f] \in \mathcal{D}'(\Omega)$は一意に定まる. 以下, $[f]$を単に$f$と書く.

デルタ超関数は局所可積分関数で表されないから, $L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega) \subset \mathcal{D}'(\Omega)$で等号は成り立たない.

(3)$T \in \mathcal{D}'(\Omega),$ $f$を$C^\infty$-級関数(つまり$f \in C^\infty(\Omega)$)とする. 任意の$\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$に対して$f\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$であるから,
$\langle \,fT, \varphi \rangle = \langle T, f\varphi \rangle$
によって$fT \in \mathcal{D}'(\Omega)$を定義できる. 代数学の言葉を使えば, $\mathcal{D}'(\Omega)$は$C^\infty(\Omega)$-加群である.

ここで, 超関数の微分の定義の背景を述べる. $f, \varphi \in C^\infty(\overline{\Omega})$に対して($\overline{\Omega}$を含む或る開集合で滑らか), $\nu(x)$を$\Omega$の境界$\partial \Omega$の点$x$における外向き単位法ベクトルとするとき, 多変数関数の部分積分の公式
$$\int_\Omega \partial_{x_i}f(x)\varphi(x)dx=\int_{\partial \Omega} f(x)\varphi(x)\nu_i(x)dS-\int_\Omega f(x)\partial_{x_i}\varphi(x)dx$$
が成り立つ. $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ならば$\varphi(x)$は$\partial \Omega$で$0$であるから,
$$\int_\Omega \partial_{x_i}f(x)\varphi(x)dx=-\int_\Omega f(x)\partial_{x_i}\varphi(x)dx$$
が成り立つ. また,２回部分積分すると
$$\int_\Omega \partial_{x_i}^2 f(x)\varphi(x)dx$$
$$=\int_{\partial \Omega} \partial_{x_i} f(x)\varphi(x)\nu_i(x)dS-\int_\Omega \partial_{x_i} f(x)\partial_{x_i}\varphi(x)dx$$
$$=-\int_{\partial \Omega} f(x)\partial_{x_i} \varphi(x)\nu_i(x)dS+(-1)^2 \int_\Omega f(x)\partial_{x_i}^2 \varphi(x)dx$$
$$=(-1)^2 \int_\Omega f(x)\partial_{x_i}^2 \varphi(x)dx$$
以下$\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$として部分積分を$k$回繰り返せば
$$\int_\Omega \partial_{x_i}^k f(x)\varphi(x)dx=(-1)^k \int_\Omega f(x)\partial_{x_i}^k\varphi(x)dx$$
が成り立つ. $\Omega = \mathbb{R}^N$の場合は$\mathrm{supp}(\varphi) \subset \{x \in \mathbb{R}^N : |x| \lt R \}$となるように$R \gt 0$をとり$\{x \in \mathbb{R}^N : |x| \lt R \}$で部分積分をして$R \to \infty$とすればよい. 上の式の右辺は$f \in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$であれば意味を持つ. そこで超関数$f$の微分を次のように定める.

例(1)$C^\infty(\overline{\Omega})$の関数の超関数の意味での導関数は通常の偏導関数に等しい. 区別のため後者を$D^\alpha f$と書くと, 部分積分により
$\langle \partial^\alpha f, \varphi \rangle$
$=(-1)^{|\alpha|}\langle \,f, \partial^\alpha \varphi \rangle$
$=(-1)^{|\alpha|}(-1)^{|\alpha|}\langle D^\alpha f, \varphi \rangle$
$=\langle D^\alpha f, \varphi \rangle$
ゆえに$\partial^\alpha f(x)=D^\alpha f(x).$

例(2)$H:\mathbb{R}\to\{0, 1\}$を
$H(x)=\begin{cases} 1 & (x \ge 0) \\ 0 & (x \lt 0) \end{cases} \,$
と定める. $H$をヘビサイド関数と言う. ヘビサイド関数は局所可積分だから超関数である.
$$\int_{-\infty}^{\infty} H'(x)\varphi(x)dx$$
$$=-\int_{-\infty}^{\infty}H(x)\varphi'(x)dx$$
$$=-\int_0^\infty \varphi'(x)dx$$
$$=\varphi(0)$$
ゆえに$H'=\delta.$

例(3)$\mathbb{R}$の点$p_1, p_2, …$を除いて連続で, $p_i$を除いて通常の意味で微分可能な$\mathbb{R}$上の関数$f$(その通常の意味の導関数を$Df$と書く)に対して, $Df$が局所可積分, $g_i=f(p_i+0)-f(p_i-0)$が有限とすると
$f'=Df+\sum_i g_i \delta_{p_i}.$
(可算無限個なら超関数の和の収束を考えなければならないが, それは省略する. )

例(4)$t \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R}^3$とする. $\partial_t E - \Delta E = \delta(t) \otimes \delta(x)$の解$E$は局所可積分であり,
$$E(t, x)=\frac{H(t)}{\sqrt{4 \pi t}^3} e^{-\frac{|x|^2}{4t}}=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{4 \pi t}^3} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} & (t \gt 0) \\ 0 & (t \le 0) \end{cases}.$$ ここで$H(t)$はヘビサイド関数, すなわち
$H(t)=\begin{cases} 1 & (t \gt 0) \\ 0 & (t \le 0) \end{cases}, \,$
$\langle \delta(t) \otimes \delta(x), \varphi(t, x) \rangle = \langle \delta(t), \langle \delta(x), \varphi(t, x) \rangle \rangle.$

超関数は超関数の意味では何回でも微分可能であり, 偏導関数は試験関数$\varphi$の偏微分の順序に依らない.

以下, $\mathcal{D}(\mathbb{R}^N)$を$\mathcal{D},$ $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^N)$を$\mathcal{D}'$と略記する.

超関数の台の定義の正当化には厳密には「１の分割」を用いる.

台がコンパクトな超関数が定義できると, 私が大好きな定理を述べられる. 『台がコンパクトな超関数の基本定理』 である.

私はこの定理を用いて, ナビエ-ストークス方程式の解について直観的かつ初等的に構成を考えてみた. 『ナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさの簡単な議論および一意性』 を参照されたい.

緩増加超関数を定義するためにその定義域である急減少関数の空間を定義する.
$x^\alpha = x_1^{\alpha_1}…x_N^{\alpha_N}$
とする.

例えば$\mathcal{D}$の要素や$e^{-|x|^2}$は急減少関数である. 急減少関数の絶対値は$|x| \to \infty$でどんな多項式よりも速く$0$に収束する. 急減少関数については 『急減少関数の定義と急減少関数が1≦p≦∞についてL^pであること (12月7日 10:13 最終推敲)』 を参照されたい.

例(1) $1 \le p \le \infty$に対して$L^p$-関数, 雑に言うと, 絶対値の$p$乗が可積分な関数$f \in L^p$は

$$\langle [f], \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}^N} f(x)\varphi(x)dx$$

によって緩増加超関数$[f]$を定義する. $f$と$[f]$の間の対応は互いに単射であるから, $L^p \subset \mathcal{S}'$
とみなせる. (正確にはヘルダーの不等式による)

以後$[f]$も$f$と書く.

例(2) 多項式関数$P$は$L^p$-関数ではないが,

$$\langle [P], \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}^N} P(x)\varphi(x)dx$$

により緩増加超関数$[P]$を定義する. $P$と$[P]$の間の対応は互いに単射であるから, 多項式の成す集合を$\mathcal{P}$とすると$\mathcal{P} \subset \mathcal{S}'$
とみなせる. 急減少関数の定義と急減少関数が可積分($L^1$)であることにより$P\varphi$が可積分だからである.

位相空間として
$\mathcal{D}\subset\mathcal{S}\subset\mathcal{E}$
だから位相空間として
$\mathcal{E}'\subset\mathcal{S}'\subset\mathcal{D}'$
である. すなわち台がコンパクトな超関数や緩増加超関数は超関数である. 台がコンパクトな超関数や緩増加超関数の微分は超関数の微分と全く同様に定義される.

緩増加超関数にはフーリエ変換が定義でき, それによって実数階の微分が定義できたりべゾフ空間が定義できる. 以下
$$c_N=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^N}$$
とする.

ところで, フビニの定理 より
$$\langle \mathcal{F}[f], \varphi \rangle$$
$$=\langle \mathcal{F}[f](\xi), \varphi(\xi) \rangle$$
$$\int_{\mathbb{R}^N}\mathcal{F}[f](\xi)\varphi(\xi)d\xi$$
$$=\int_{\mathbb{R}^N}\left(c_N\int_{\mathbb{R}^N}e^{-ix\cdot\xi}f(x)dx\right)\varphi(\xi)d\xi$$
$$=\int_{\mathbb{R}^N}f(x)\left(c_N\int_{\mathbb{R}^N}e^{-ix\cdot\xi}\varphi(\xi)d\xi\right)dx$$
$$=\langle f, \mathcal{F}[\varphi] \rangle$$
であり, フーリエ逆変換についても同様だから, 次のように定義する.

例
$\mathcal{F}[\delta]=c_N.$
実際
$$\langle \mathcal{F}[\delta], \varphi \rangle = \langle \delta \mathcal{F}[\varphi] \rangle$$
$$=\mathcal{F}[\varphi](0)$$
$$=c_N\int_{\mathbb{R}^N}\varphi(x)dx$$
$$=c_N \langle 1, \varphi \rangle.$$

緩増加超関数のフーリエ(逆)変換が定義できると$f \in \mathcal{S}'$の実数$\alpha$階の微分$|\nabla|^\alpha f$が
$$|\nabla|^\alpha f(x)=\mathcal{F}^{-1}[|\xi|^\alpha \mathcal{F}[f](\xi)](x)$$
として定義でき, それをもとにしたソボレフ空間が非線型偏微分方程式の理論で大活躍する. また, 斉次べゾフ空間は, 商空間$\mathcal{S}'/ \mathcal{P}$において定義される.