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議論大学数学以上
文献あり

ナビエ-ストークス方程式の解の近似式についての補足

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私は 『ナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさの直観的議論および一意性』 において, ナビエ-ストークス方程式の台がコンパクトで滑らかな外力$f$に対する初期値ゼロの解が以下の「解の公式のような」式で近似できることを述べた. 以下, 記号は上の記事に従う.

$$\varPhi[u_n]^i(t, x)=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E^i(s, y) \, ( \, f^i(t-s, x-y) - (u_n \cdot \nabla)u_n^i(t-s, x-y))dsdy$$

ここで$\{u_n \} \subset V_{0}^{m, 2}$$u_n(t, x)=(u_n^1(t, x), u_n^2(t, x), u_n^3(t, x))$であり$t \lt 0 ⇒ u_n^i(t, x)=0, $かつ$$\lim_{\nu, n \to \infty}\|u_{\nu} - u_n \|_{H^m}=0$$である物から適当に取った物である. また$$E^{i}(t, x)=\frac{H(t)}{\sqrt{4 \pi t}^3} e^{-\frac{|x|^2}{4t}}$$であり, $H(t)$はヘビサイド関数, すなわち
$H(t)=\begin{cases} 1 & (t \gt 0) \\ 0 & (t \le 0) \end{cases}. \,$

ナビエ-ストークス方程式の解の近似について本やインターネットで調べたが, そもそも解の存在と滑らかさがわかっていない方程式の解を近似するのはまだ無理なのかもしれない. しかし$\{u_n\}$を適当に取れば初期値ゼロの解は近似できるのではなかろうか.

ここで, $\{u_n\}$$\{\varPhi[u_n]\}$が同じ極限に収束しなければならないが, これは今まで考えてきた$\varPhi$の不動点の存在と, ほぼ同値であろう.

私は流体力学や数値計算を少ししか知らず, また詳しく知ってもこの問題が解決できるかはわからないが, 解の存在はまだ厳密には言えなくても, 解の近似はできるのではないかと考えている. $H^m$の元とは物理学的には$m$階までの弱導関数の運動エネルギーが有限な関数の空間だから, 設定としても不自然ではないだろう.

参考文献

投稿日:20221126
更新日:316

投稿者

収入が少ないので, Mathlogのお金を支払う機能で支援してくだされば幸いです. 研究の記事の他に, 発見シリーズ, 行間シリーズ, 超入門シリーズも書いています. 北田均『数理解析学概論』新訂版序文の「ほぼ独学と思われる熱心な読者」, 結城浩『数学ガールの秘密ノート/行列が描くもの』あとがきの「類太郎」. 指摘を受けたり自分で誤りに気付いて, 後から訂正することも多々ある. 寛容な目で温かい目で見て頂きたい. 何かあればご連絡を頂きたい. 悪意のあるきつい言い方をされたことも多々あったが, それさえしなければ指摘には真摯に対応したい. 数式, 特に偏微分方程式が好き. 多変数複素解析のヘルマンダーの方法:複素多様体における外微分 d を d=∂′+∂′′ とするとき‚ 既知微分形式 f と未知微分形式 u について ∂′′u=f (ディーバー方程式)の可解性で諸問題を考える方法, 複素多様体における微分幾何として複素モンジュ-アンペール方程式の解の存在, 代数解析の偏微分方程式への応用でも何かを遺したい.

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