素数定理の証明への道 (3) : チェビシェフ関数の漸近公式の導出

$f(s)=\frac{x^s}{s}$とおこう。$0< x<1,x=1,1< x$の場合を分けて考える。まず$0< x<1$のとき、
\begin{equation} \int_C f(s)ds \end{equation}
を考える。ここで$M>0$を十分大きな実数とし、$C=C_1$であり、$C_1$が線分$\{c+it\mid -T\leq t\leq T\}$、$C_2$が線分$\{\sigma+iT\mid c\leq\sigma\leq M\}$、$C_3$が線分$\{M+it\mid T\geq t\geq ^T\}$、$C_4$が線分$\{\sigma-iT\mid M\geq\sigma\geq c\}$であり、それぞれ図1のように向きづけられているとする。

$0< x<1$のときの積分経路

$f(s)$は$C$の内部で正則なので、コーシーの積分定理より、$\int_C f(s)ds=0$である。また、$0< x<1$であるので$M\to\infty$の極限において$f(s)$は一様に0に収束するから、$M\to\infty$のとき$\int_{C_3} f(s)ds\to 0$である。$f(s)$は実軸上では実関数を定める正則関数であるから、$\overline{f(s)}=f(\bar{s})$に注意すれば、$\int_{C_2+C_4}f(s)ds$は純虚数になることが分かる。さらに$C_2$は実軸に平行なので、次の式が成り立つ。
\begin{equation} \int_{C_2+C_4} f(s)ds=2i\int_{C_2} \Im(f(s))ds \end{equation}
$f(s)$の定義から$0< x<1$において、この式は$M\to\infty$においても収束し、さらに$T\to\infty$において、$\int_{C_2+C_4} f(s)ds\to0$と分かる。よって、$C$を$M\to\infty$とした後$T\to\infty$とすれば、
\begin{equation} \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{x^s}{s}ds=0\quad(0< x<1) \end{equation}
が分かる。続いて$1< x$の場合を示す。$0< x<1$の証明において、$M\to-\infty$とすれば、$1< x$では$f(s)\to 0$となるので、図1.の積分路を虚軸で折り返せば全く同様にして証明ができるが、今回は別の積分経路をとってみる。

$x>1$のときの積分経路

すなわち、積分$\int_C f(s)ds$において、$C$を$C_1$を線分$\{c+it\mid -T\leq t\leq T\}$で$C_2$を中心$c$半径$T$の半円で図2.のように向きづけられたものとしたとき、$C=C_1+C_2$とする。ただし、$T$は十分大きくとっておく。$C$の内部の$f(s)$の極は$s=0$のみであり、その点における$f(s)$の留数は1であるから留数定理より、
\begin{equation} \frac{1}{2\pi i}\int_C f(s)ds=1 \end{equation}
である。$T\to\infty$のとき、$\int_{C_2} f(s)ds\to 0$を示をしめせばよい。$C_2$上の点を実部が$-\log T$以下の部分$C_3$とそうでない点$C_4$に分けて考えると、実部が$-2\log T$以下の$C_3$では$\int_{C_3}f(s)ds=O(x^{-\log T})$となり、$C_4$では$\int_{C_4}f(s)ds=O(\frac{\log T}{T})$となる。いづれにしろ$T\to\infty$で$\int_{C_2} f(s)ds\to 0$であるので、
\begin{equation} \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \frac{x^s}{s}ds=1\quad(x>1) \end{equation}
である。最後に$x=1$の場合は愚直に計算する。
\begin{equation} I(1)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c-iT}^{c+iT}\frac{1}{s}ds=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\frac{c}{c^2+t^2}dt=\frac{1}{2} \end{equation}
よりすべての結果が得られた。

前の記事の命題1.より、
\begin{equation} \log\zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s\log n} \end{equation}
より、両辺を$s$で微分して、
\begin{equation} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=2}^\infty\frac{\Lambda(n)}{n^s}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\Lambda(n)}{n^s} \end{equation}
であるから成り立つ。なお極限操作の交換の妥当性は$\Re(s)>1$における広義一様収束性より従う。

命題1,2.より、
\begin{align} \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{x^s}{s}\left(-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\right)ds &=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{x^s}{s}\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}ds\\ &=\sum_{n=1}^\infty\Lambda(n)\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{1}{s}\left(\frac{x}{n}\right)^sds\\ &=\sum_{n=1}^\infty\Lambda(n)I\left(\frac{x}{n}\right)\\ &=\sum_{n\leq x}'\Lambda(n)\\ &=\psi(x) \end{align}
となるので示された。なお、途中の極限操作の交換は一様収束性より従う。また、$I(x)$は命題1.と同じ記号である。

$\zeta(s)$は$s=1$で1位の極をもち、この点における留数は1より、正則関数$h(s)$であって、
\begin{equation} \zeta(s)=\frac{1}{s-1}+h(s) \end{equation}
となるものがとれるから、
\begin{equation} -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\frac{1}{s-1}\frac{1+(s-1)^2 h'(s)}{1+(s-1)h(s)} \end{equation}
と書けるので明らか。

$c>1$を適当にとって固定しておく。補助的に関数$\psi_1(x)$を
\begin{equation} \psi_1(x)=\int_0^x \psi(u)du \end{equation}
で導入する。定理3.より、
\begin{align} \psi_1(x)&=\frac{1}{2\pi i}\int_0^x \int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{u^s}{s}\left(-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\right)dsdu\\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\int_0^x \frac{u^s}{s}\left(-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\right)duds\\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{x^{s+1}}{s(s+1)}\left(-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\right)ds \end{align}
が成り立つ。ここで積分の順序交換は命題1.の証明から$x$を固定したときに、$[0,x]$における$\lim_{T\to\infty}\int_{c-iT}^{c+iT}\frac{u^s}{s}\left(-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\right)ds$の収束は一様であることが分かるので正当化される。
\begin{equation} F(s)=\frac{x^{s+1}}{s(s+1)}\left(-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\right) \end{equation}
とおけば、補題4.より$F(s)$は$s=1$において1位の極をもち、この点における留数は$\frac{x^2}{2}$である。下図のような積分路$C$で$\int_C F(s)ds$を考えよう。

$F(s)$の積分路

ここで$C_3,C_7$は$\Re(s)=1$上にあり、$C_4,C_6$は$\Im(s)=2$上にある。$C_5$は虚軸に平行で、$F(s)$が$C$の内部に1以外の極をもたないように1の十分近くにとる。極は孤立しているから、このようなとり方は可能である。また、$C_4,C_5,C_6$上にも$F(s)$は極をもたないものとする。$\zeta(s)$は$\Re(s)=1$上に零点をもたないので、$C_3,C_7$上には$F(s)$が特異点となるような点は存在しない。よって、留数定理から
\begin{equation} \frac{1}{2\pi i}\int_C F(s)ds=\frac{x^2}{2} \end{equation}
が成り立つ。まず、$T\to\infty$における極限を考えよう。$C_2,C_8$上では 記事2 の命題6.系より、$\left|\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\right|\leq C|t|^\frac{1}{2}$とできるので、
\begin{equation} \left|\int_{C_i} F(s)ds\right|\leq \int_{C_i}|F(s)|ds\leq \frac{C'}{T\sqrt{T}}\to 0\quad(i=2,8) \end{equation}
となり、また、$T\to\infty$において
\begin{equation} \frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}F(s)ds\to \psi_1(x) \end{equation}
以上をまとめると$T\to\infty$とすることで、
\begin{equation} \psi_1(x)+\frac{1}{2\pi i}\sum_{i=3}^7\int_{C_i}F(s)ds=\frac{x^2}{2} \end{equation}
となるから、仮に$T\to\infty$とした後のすべての$i=3,4,5,6,7$において、
\begin{equation} \lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^2}\int_{C_i}F(s)ds\to0 \end{equation}
が成り立てば、$\psi_1(x)\sim \frac{x^2}{2}$が成り立つ。以下、これを示す。まず$C_3$について、$|t|\geq 2$であれば、再びある定数$C>0$をとって、$\left|\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\right|\leq C|t|^\frac{1}{2}$とできるので、十分大きな$x$に対して、
\begin{align} \left|\int_{C_3}F(s)ds\right|&=x^2\left|\int_2^\infty \frac{x^{it}}{(1+it)(2+it)}\frac{\zeta'(1+it)}{\zeta(1+it)}dt\right|\\ &=\frac{x^2}{\log x}\left|\int_{\frac{2}{\log x}}^\infty\frac{e^{it}}{(1+it\log x)(2+it\log x)}\frac{\zeta'(1+it\log x)}{\zeta(1+it\log x)}dt\right|\quad(t\mbox{を}t\log x\mbox{で置換。})\\ &\leq C\frac{x^2}{\log x}\int_{\frac{2}{\log x}}^\infty \frac{1}{(t\log x)^\frac{3}{2}}dt\\ &\leq C\frac{x^2}{(\log x)^2} \end{align}
となるので、$x\to\infty$において、$\frac{2}{x^2}\int_{C_3}F(s)ds\to 0$である。$C_7$も同様に示せる。$C_5$上の点の実部を$\sigma_0$としよう。$C_4$上では$\frac{1}{s(s+1)}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$は有界なので、十分大きな$M>0$をとれば、
\begin{align} \left|\int_{C_4}F(s)ds\right|&=\left|\int_{\sigma_0}^1 \frac{x^{1+\sigma+2i}}{(\sigma+2i)(1+\sigma+2i)}\frac{\zeta'(\sigma+2i)}{\zeta(\sigma+2i)}d\sigma\right|\\ &\leq M\int_{\sigma_0}^1 x^{1+\sigma}d\sigma\\ &=M\left(\frac{x^2}{\log x}-\frac{x^{1+\sigma_0}}{\log x}\right) \end{align}
であるので、$x\to\infty$において、$\frac{2}{x^2}\int_{C_4}F(s)ds\to 0$である。$C_6$も同様である。最後に$C_5$について、同様に$C_5$上で$\frac{1}{s(s+1)}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$は有界なので、十分大きな$M>0$をとれば
\begin{equation} \left|\int_{C_5}F(s)ds\right|\leq Mx^{1+\sigma_0} \end{equation}
となる。ゆえに$x\to\infty$において、$\frac{2}{x^2}\int_{C_5}F(s)ds\to 0$である。これらをまとめると、$\psi_1(x)\sim\frac{x^2}{2}$となる。すなわち、
\begin{equation} \int_0^x \psi(u)du\sim \frac{x^2}{2} \end{equation}
であるので、
\begin{equation} \int_0^x\psi_1(u)du=\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon(x) \end{equation}
とおける。ここで$\varepsilon(x)$は誤差項で$\lim_{x\to\infty}{\varepsilon(x)}=0$を満たす。
$\alpha>1$を一つとって固定する。$\eta(x)=(\alpha x)^2\varepsilon(\alpha x)-x^2\varepsilon(x)$とおけば、
\begin{equation} \int_x^{\alpha x}\psi(u)du=\frac{\alpha^2-1}{2}x^2+\eta(x) \end{equation}
ここで$\psi(x)$平均値の定理$1< c<\alpha$となる$c$が存在し、
\begin{equation} (\alpha-1)x\psi(cx)=\frac{\alpha^2-1}{2}x^2+\eta(x) \end{equation}
となるので、
\begin{equation} \psi(cx)=\frac{\alpha+1}{2}x+\frac{2\eta(x)}{(\alpha-1)x} \end{equation}
である。$\alpha\to 1$のとき、$m(x)=\sup_{y\in[x,\alpha x]}\varepsilon (x)$とおけば、$\left|\frac{2\eta(x)}{(\alpha-1)x}\right|\leq 5xm(x)<\infty$であり、$x$が素数$p$のべきなら、$\psi(cx)\to\psi(x)+\frac{\log p}{2}$、そうでないなら$\psi(cx)\to\psi(x)$である。$p\leq x$であるから、いづれにしろ、
\begin{equation} \psi(x)=x+x\varepsilon(x) \end{equation}
として再び誤差項を$\varepsilon(x)$とおいたとき、$\varepsilon(x)\to 0\quad(as\,x\to\infty)$であることが分かる。これは$\psi(x)\sim x$に他ならない。