ボゾン・フェルミオン対応

数学・物理 Advent Calendar 2022 の記事です。ボゾン・フェルミオン対応の基礎について解説します。

ボゾン

$\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots]$を無限変数多項式環とする。$x_n$をかける作用素を単に$x_n$と表す。

ある$a_n,a_n^* \ (n=1,2,\ldots)$が
$$[a_m,a_n]=0,\ [a_m^*,a_n^*]=0,\ [a_m,a_n^*]=\delta_{mn}$$
をみたすとき、これらをボゾンと呼ぶ。$\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots]$をボゾンのFock空間と呼ぶ。

フェルミオン

$\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_l)$を分割、すなわち$\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge \lambda_l\ge 1$をみたす整数列とする。$i>l$のとき$\lambda_i=0$とする。$\xi_i=\lambda_i-i+\frac12$とおく。数直線上の座標$\xi_i$に黒石、$(\mathbb{Z}+\frac12)\setminus\{\xi_i\}$に白石を置いて得られる図形をマヤ図形と呼ぶ。

以下の図のように、ヤング図形を135°回転させた図形において、傾き1の線分と黒石、傾き$-1$の線分と白石が対応する。十分右側ではすべて黒石、十分左側ではすべて白石となる。

$k\in\mathbb{Z}+\frac12$に対して記号$\underline{k}$を用意し、$V$を$\ldots,\underline{\frac32},\underline{\frac12},\underline{-\frac12},\underline{-\frac32},\ldots$を基底とするベクトル空間とする。$S=\{s_1,s_2,\ldots\}$を

• $s_i\in\mathbb{Z}+\frac12$

• $s_1>s_2>\cdots$

• 十分大きな$i$について$s_i-1=s_{i+1}$

をみたすものとする。$v_S := \underline{s_1}\wedge\underline{s_2}\wedge\cdots$の生成するベクトル空間を$\mathcal{F}$(あるいは$\Lambda^{\frac{\infty}{2}}V$)と表し、フェルミオンのFock空間と呼ぶ。$m\in\mathbb{Z}$に対して$|m\rangle=\underline{m-\frac12}\wedge\underline{m-\frac32}\wedge\underline{m-\frac52}\wedge\cdots$とおく。分割$\lambda$に関して、$v_{\lambda}=\underline{\xi_1}\wedge\underline{\xi_2}\wedge\underline{\xi_3}\wedge\cdots=\underline{\lambda_1-\frac12}\wedge\underline{\lambda_2-\frac32}\wedge\underline{\lambda_3-\frac52}\wedge\cdots$とおく。特に$v_{\emptyset}=|0\rangle=\underline{-\frac12}\wedge\underline{-\frac32}\wedge\underline{-\frac52}\wedge\cdots$である。

$k\in\mathbb{Z}+\frac12$に対して、生成作用素$\psi_k\colon\mathcal{F}\to\mathcal{F}$を
$$\psi_k(v)=\underline{k}\wedge v$$
により定める。$\wedge$の反交換性より
$$\psi_k(v_S)=\begin{cases} (-1)^{i+1}\underline{s_1}\wedge\cdots\wedge \underline{s_{i-1}}\wedge \underline{k}\wedge\underline{s_i}\wedge\cdots & (s_{i-1}>k>s_i) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}$$
が成り立つ。ただし$s_0=\infty$とする。

$\mathcal{F}$上の内積を$\langle v_S,v_{S'}\rangle=\delta_{S,S'}$により定める。$\psi_k^*$を$\psi_k$の随伴作用素とする。すなわち
$$\langle \psi_kv,w\rangle=\langle v,\psi_k^*w\rangle$$
をみたすものとする。$\psi_k^*$を消滅作用素と呼ぶ。

マヤ図形で説明すると、$\psi_k$は座標$k$に黒石を置く作用素、$\psi_k^*$は黒石を除く作用素である。どちらも操作後に適切に符号を変え、操作に失敗した場合は0になる。

$\psi_k,\psi_l^*$をフェルミオンという。

フェルミオンからボゾンへ

正規順序積を
$$:\psi_k\psi_l^*: \ =\begin{cases} \psi_k\psi_l^* & (l>0) \\ -\psi_l^*\psi_k & (l<0) \end{cases}$$
により定める。上の関係式より、$k\ne l$ならば$\psi_k\psi_l^*=-\psi_l^*\psi_k$となることに注意する。

$n\in\mathbb{Z}$に対して
$$\alpha_n=\sum_{k\in\mathbb{Z}+\frac12}:\psi_{k-n}\psi_k^*:$$と定める。上述の通り、$n\ne 0$ならば
$$\alpha_n=\sum_{k\in\mathbb{Z}+\frac12}\psi_{k-n}\psi_k^*$$となる。一方$n=0$ならば
$$\alpha_0=\sum_{k\in\mathbb{Z}+\frac12,k>0}\psi_k\psi_k^*-\sum_{k\in\mathbb{Z}+\frac12,k<0}\psi_k^*\psi_k$$となる。

マヤ図形において$\alpha_n \ (n\ne 0)$は黒石を右に$n$だけ動かす作用素である。ヤング図形においてはボーダーストリップと呼ばれる図形を追加または削除する操作と対応する。

一方、$\alpha_0$は電荷を測る作用素となる。任意の$v_S\in\mathcal{F}$に対して、$\alpha_0v_S=mv_S$となるような整数$m$が存在する。これを$v_S$の電荷と呼ぶ。特に$|m\rangle$の電荷は$m$である。

$n>0$に対して$a_n=\alpha_n, a_n^*=\frac{\alpha_{-n}}{n}$とおくことで、次の関係式を得る。

すなわち、フェルミオン$\psi_k$からボゾン$a_n,a_n^*$を作ることができた。

Fock空間の同型

$a_n, a_n^* \ (n=1,2,\ldots)$を生成元とし、$[a_m,a_n]=0,[a_m^*,a_n^*]=0,[a_m,a_n^*]=\delta_{mn}$を関係式とする代数を Heisenberg 代数という。すなわち Heisenberg 代数はボゾンにより生成された代数である。$a_n\mapsto \frac{\partial}{\partial x_n}, a_n^*\mapsto x_n$により Heisenberg 代数の$\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots]$への表現を得る。これが既約表現であることは簡単に確かめられる。

分割$\lambda$に関する$v_{\lambda}=\underline{\lambda_1-\frac12}\wedge\underline{\lambda_2-\frac32}\wedge\cdots$の生成する空間を$\mathcal{F}^{(0)}$(あるいは$\Lambda_0^{\frac{\infty}{2}}V$)と表す。これは$\alpha_{-\lambda_1}\cdots\alpha_{-\lambda_k}v_{\emptyset}$を基底にもつ。よって命題より Heisenberg 代数の表現としての同型$\sigma_0\colon\mathcal{F}^{(0)}\to\mathcal{B}^{(0)}=\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots]$が存在する。

以下では$v_{\lambda}$の$\sigma_0$による像$\sigma_0(v_{\lambda})\in\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots]$について考える。

$\alpha_n$の$V$への作用を$\alpha_n\underline{k}=\underline{k-n}$により定める。$\mathcal{F}$への作用は
$$\begin{align*} \alpha_n(\underline{s_1}\wedge\underline{s_2}\wedge\cdots) &= (\alpha_n\underline{s_1})\wedge\underline{s_2}\wedge\cdots \\ &+\underline{s_1}\wedge(\alpha_n\underline{s_2})\wedge\cdots \\ &+\cdots\end{align*}$$ と表される。$c=(c_1,c_2,\ldots)$に対して
$$A=\exp(c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\cdots)$$とおく。$P(x)=\sigma_0(v_{\lambda})$とおくと、$\sigma_0(Av_{\lambda})=A\sigma_0(v_{\lambda})=AP(x)$となる。$A$の$\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots]$への作用について
$$AP(x)=\exp\left(c_1\frac{\partial}{\partial x_1}+c_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\cdots\right)P(x)=P(x+c)$$となる。ここで最後の等式はテイラーの定理による。よって$AP(x)$の定数項は$P(c)$である。$Av_{\lambda}$における$v_{\emptyset}$の係数を求めればよい。$A$の$V$への作用について
$$A=\exp(c_1\alpha_1+c_2\alpha_1^2+\cdots)$$となる。$S_k(x)$を$\exp(x_1z+x_2z^2+\cdots)$を展開したときの$z^k$の係数とする。このとき
$$A=\sum_{k\ge 0}S_k(c)\alpha_1^k=\sum_{k\ge 0}S_k(c)\alpha_k$$が成り立つ。$A$の$\mathcal{F}$への作用について
$$Av_{\lambda} = A\underline{\lambda_1-\frac12}\wedge A\underline{\lambda_2-\frac32}\wedge\cdots$$となる。線形代数の議論により $$P(c)=\det(S_{\lambda_i-i+j}(c))$$が得られる。

多項式$S_{\lambda}(x)$とシューア多項式$s_{\lambda}(x)$との関係を考える。
$$x_j=\frac{y_1^j+\cdots+y_n^j}{j}$$ とおくと $$\begin{align*} \sum_{k\ge 0}S_k(x)z^k &= \exp\left(\sum_{i=1}^n\sum_{r\ge 1}\frac{(y_iz)^r}{r}\right) \\ &= \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\frac{1}{1-y_iz}\right) \\ &= \prod_{i=1}^n\frac{1}{1-y_iz} \\ &= \sum_{k\ge 0}h_k(y)z^k\end{align*}$$となる。ここで$h_k$は完全対称多項式である。よって$S_k(x)=h_k(y)$を得る。$s_{\lambda}(x)$をシューア多項式とすると、シューア多項式と完全対称多項式の間には次のような関係がある。

これを用いると、$\sigma_0(v_{\lambda})=S_{\lambda}(x)=s_{\lambda}(y)$を得る。よって$v_{\lambda}$の像はシューア多項式を用いて次のように記述される。

ここまで荷電なしの空間$\mathcal{F}^{(0)},\mathcal{B}^{(0)}$の間の同型について述べた。荷電のある空間にも同様のことが言える。$\alpha_0$による$\mathcal{F}$の固有空間分解は
$$\mathcal{F}=\bigoplus_{m\in\mathbb{Z}}\mathcal{F}^{(m)}$$の形となる。前に$\mathcal{F}^{(0)}$を定義したが、この定義と矛盾しない。$\mathcal{F}^{(m)}$は電荷$m$の元が生成する部分空間である。ボゾンのFock空間にも同様に電荷の概念を導入する。パラメータ$q$を導入して、$\mathcal{B}^{(m)}=q^m\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots]$とおく。$\mathcal{B}=\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots;q,q^{-1}]$とおくと
$$\mathcal{B}=\bigoplus_{m\in\mathbb{Z}}\mathcal{B}^{(m)}$$ となる。

このとき、上と同様の議論で同型写像$\sigma_m\colon \mathcal{F}^{(m)}\to\mathcal{B}^{(m)}$が構成できる。これらをまとめて$\sigma\colon\mathcal{F}\to\mathcal{B}$を作れる。

ボゾンからフェルミオンへ

フェルミオンの母関数を
$$\psi(z)=\sum_{k\in\mathbb{Z}+\frac12}z^k\psi_k$$
$$\psi^*(z)=\sum_{k\in\mathbb{Z}+\frac12}z^{-k}\psi_k^*$$により定める。$\sigma$により$\mathcal{B}$の$q$倍作用素と対応する$\mathcal{F}$の作用素を同じく$q$と表す。$S=\{s_1,s_2,s_3,\ldots\}, S'=\{s_1+1,s_2+1,s_3+1,\ldots\}$とするとき、$qv_S=v_{S'}$となる。これより
$$q|m\rangle=|m+1\rangle, q\psi_i=\psi_{i+1}q$$をみたす。マヤ図形で説明すると、$q$は石を一斉に1個ずらす作用素である。

証明に必要な補題を用意する。

3.で登場した
$$\exp\left(\sum_i\mu_ix_i\right)\exp\left(-\sum_i\lambda_i\frac{\partial}{\partial x_i}\right)$$の形の作用素を頂点作用素という。

定理を証明する。
$$[\alpha_j,\psi(z)]=z^j\psi(z)$$ をみたす。$\mathcal{B}$に移すと
$$\begin{align*} \left[\frac{\partial}{\partial x_j}, \sigma\psi(z)\sigma^{-1}\right] &= z^j(\sigma\psi(z)\sigma^{-1}) \\ [x_j, \sigma\psi(z)\sigma^{-1}] &= \frac{z^{-j}}{j}(\sigma\psi(z)\sigma^{-1})\end{align*}$$となる。補題より、作用素$\sigma\psi(z)\sigma^{-1}$は次のように表せる。
$$\sigma\psi(z)\sigma^{-1}=qC_m(z)\Gamma(z)$$ ここで
$$\Gamma(z)=\exp\left(\sum_{j\ge 1}z^jx_j\right)\exp\left( -\sum_{j\ge 1}\frac{z^{-j}}{j}\frac{\partial}{\partial x_j}\right)$$である。$\psi(z)|m\rangle$における$|m+1\rangle$の係数は$z^{m+1/2}$なので、$C_m(z)=z^{m+1/2}$である。よって
$$\psi(z)=qz^{\alpha_0+1/2}\Gamma_-(z)\Gamma_+(z)^{-1}$$が示された。もう1つの等式
$$\psi^*(z)=q^{-1}z^{-\alpha_0-1/2}\Gamma_-(z)^{-1}\Gamma_+(z)$$も同様である。