台がコンパクトでない可微分関数で導関数の台がコンパクトになる例 (1月31日 19:53 訂正)
『ナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさの簡単な議論および一意性』 で用いた, 『台がコンパクトな超関数の基本定理』
$\mathbb{R}^N$上の任意の定数係数線型偏微分作用素$P$の基本解, すなわち
$PE=\delta$
を満たす$E \in \mathcal{D}^{\prime}$を取ると, 台がコンパクトな超関数$\, f \in \mathcal{E}^{\prime}$または台がコンパクトな$C^{\infty}$-級関数$\, f \in C_0^{\infty}$について, 方程式
$Pu=f$
の解$u$のひとつは$u=E * f \in \mathcal{D}^{\prime}$または$u=E * f \in C^{\infty}$で与えられる.
ここで$\, f \in \mathcal{E}^{\prime}$ならば
$\langle E*f, \varphi \rangle = \langle E(x), \langle \,f(y), \varphi(x+y) \rangle \rangle,$
$\, f \in C_0^{\infty}$ならば
$(E*f)(x)=\langle E(y), f(x-y) \rangle.$
を推敲していて気がついたが, これをよく見てみると, $f$の台はコンパクト, ゆえに$Pu$の台もコンパクトだが, $u$の台がコンパクトではないことがありうる.
簡単に話をするため, 関数の台のみ定義を書く. 超関数の台の定義は 『微分積分と線型代数と簡単な集合位相で学ぶ超関数超入門 (2023年1月15日 6:55 最終推敲)』 を参照されたい.
関数$u:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$について$u(x) \neq 0$となる$x \in \mathbb{R}$全体の集合の閉包
$\overline{\{x \in \mathbb{R} \mid u(x) \neq 0 \}}$
を$u$の台(support)と言い, $\mathrm{supp}(u)$で表す.
有界開集合の閉包はそれに境界を付け加えた和集合である.
台がコンパクトな可微分関数$u$について
$\mathrm{supp}(u')\subseteq\mathrm{supp}(u)$
であるから$u$の導関数の台はコンパクトだが, 逆は成り立たない.
関数$u:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$を
$$\begin{cases}
u(x)=\exp({-\frac{1}{9-x^2}})+1&(|x|\lt 3)\\
u(x)=1&(|x|\ge 3)
\end{cases}$$
と定めると$\mathrm{supp}(u)=\mathbb{R}$だが, $\mathrm{supp}(u')=\{|x|\le 3\}$である.
$u(x)=\exp({-\frac{1}{9-x^2}})+1 \, (|x|\lt 3)$
を$x$で微分すると
$u'(x)=(-\frac{1}{9-x^2})'\exp({-\frac{1}{9-x^2}})=-(-\frac{1}{(9-x^2)^2})(-2x) \exp({-\frac{1}{9-x^2}})\,(|x|\lt 3),$
$u(x)=1\,(|x|\ge 3)$を微分すると, $u'(x)=0\,(|x|\ge 3).$