『ナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさの簡単な議論および一意性』 で用いた, 『台がコンパクトな超関数の基本定理』
$\mathbb{R}^N$上の任意の定数係数線型偏微分作用素$P$の基本解, すなわち
$PE=\delta$
を満たす$E \in \mathcal{D}^{\prime}$を取ると, 台がコンパクトな超関数$\, f \in \mathcal{E}^{\prime}$または台がコンパクトな$C^{\infty}$-級関数$\, f \in C_0^{\infty}$について, 方程式
$Pu=f$
の解$u$のひとつは$u=E * f \in \mathcal{D}^{\prime}$または$u=E * f \in C^{\infty}$で与えられる.
ここで$\, f \in \mathcal{E}^{\prime}$ならば
$\langle E*f, \varphi \rangle = \langle E(x), \langle \,f(y), \varphi(x+y) \rangle \rangle,$
$\, f \in C_0^{\infty}$ならば
$(E*f)(x)=\langle E(y), f(x-y) \rangle.$
を推敲していて気がついたが, これをよく見てみると, $f$の台はコンパクト, ゆえに$Pu$の台もコンパクトだが, $u$の台がコンパクトではないことがありうる.
簡単に話をするため, 関数の台のみ定義を書く. 超関数の台の定義は 『微分積分と線型代数と簡単な集合位相で学ぶ超関数超入門 (2023年1月15日 6:55 最終推敲)』 を参照されたい.
関数$u:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$について$u(x) \neq 0$となる$x \in \mathbb{R}$全体の集合の閉包
$\overline{\{x \in \mathbb{R} \mid u(x) \neq 0 \}}$
を$u$の台(support)と言い, $\mathrm{supp}(u)$で表す.
有界開集合の閉包はそれに境界を付け加えた和集合である.
台がコンパクトな可微分関数$u$について
$\mathrm{supp}(u')\subseteq\mathrm{supp}(u)$
であるから$u$の導関数の台はコンパクトだが, 逆は成り立たない.
関数$u:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$を
$$\begin{cases}
u(x)=\exp({-\frac{1}{9-x^2}})+1&(|x|\lt 3)\\
u(x)=1&(|x|\ge 3)
\end{cases}$$
と定めると$\mathrm{supp}(u)=\mathbb{R}$だが, $\mathrm{supp}(u')=\{|x|\le 3\}$である.
$u(x)=\exp({-\frac{1}{9-x^2}})+1 \, (|x|\lt 3)$
を$x$で微分すると
$u'(x)=(-\frac{1}{9-x^2})'\exp({-\frac{1}{9-x^2}})=-(-\frac{1}{(9-x^2)^2})(-2x) \exp({-\frac{1}{9-x^2}})\,(|x|\lt 3),$
$u(x)=1\,(|x|\ge 3)$を微分すると, $u'(x)=0\,(|x|\ge 3).$