ナビエ-ストークス方程式の小さな弱解の一意存在の初等的方法 (5月25日 17:57 改訂. 重たいので英語版推奨)

かなり重たいので 英語版 またはアクセスしたらしばらく待つをおすすめします.

直観的議論

数学最大の難問, ミレニアム懸賞問題にあるナビエ-ストークス方程式(連立偏微分方程式)の弱解(超関数の意味での解)の存在について考えた. 外力にはきつめの仮定を課したが, 定数係数線型偏微分方程式についての大好きな定理が使えた.

おそらく最も初等的な解の存在についての議論である. ミレニアム懸賞問題 の解決ではなく, また議論は数学的に不完全だが, 長い計算も複雑な計算も無く, 発展方程式の理論は全く用いていない, という意味で初等的である. 解の存在は実は既知であり, 既にある証明は, とてもすばらしいが(例えば, 藤田-加藤理論, 柴田理論: 小川卓克(Takayoshi Ogawa)『非線型発展方程式の実解析的方法』278ページ-281ページ, 柴田良弘(Yoshihiro Shibata)『流体数学の基礎 下』29ページ-41ページ, 柴田良弘-久保隆徹(Yoshihiro Shibata-Takayuki Kubo)『非線形偏微分方程式』184ページ-204ページ, 垣田高夫-柴田良弘(Takao Kakita-Yoshihiro Shibata)『ベクトル解析から流体へ』234ページ-263ページ, 岡本久(Hisashi Okamoto)『ナヴィエ-ストークス方程式の数理』 220ページ-235ページ), 初等的ではないと考えている. また, 私は複雑な計算が苦手なので, なんとかあまり計算せずに解の存在が言えないか, 具体的には 『台がコンパクトな超関数の基本定理』

を用いて解の存在が言えないか, 試行錯誤していた.

ルレイ-ホップの弱解は一意性と滑らかさが未解決である. 私のこの記事については, つまり「ナビエ-ストークス方程式の弱解は一意的で滑らかではないか?」という予想である. 藤田-加藤の強解( 積分方程式に直した方程式 の解)は弱解でもあり, 初期値に対して一意的であり, 初期値のノルムが充分小さければ時間大域的である.

実解析や『台がコンパクトな超関数の基本定理』の応用として考えた. ただし, 多少厳密性は犠牲にしてある.

方針は, ナビエ-ストークス方程式
$\begin{cases} \partial_t u -\Delta u=f - \nabla \mathfrak{p}-(u \cdot \nabla)u\\ \mathrm{div}\,u=0 \end{cases}$
において$P$を熱作用素$\partial_t-\Delta$とし, 圧力$\mathfrak{p}$を消去し非線型項$(u \cdot \nabla)u$を台がコンパクトで滑らかな関数の列で近似し, 外力$\,f$と近似項の差に基本定理を使い, ソボレフ空間において極限を取ったものが解となることを示すことである.

『台がコンパクトな超関数の基本定理』は通常『定数係数線型偏微分作用素の局所可解性』と呼ばれるが, 今は大域的な話なので, こう呼んでいる.

なお, よくある誤解だが, ナビエ-ストークス方程式のミレニアム懸賞問題で問われている解は, 初期条件や境界条件を考慮せず任意関数を含む「一般解」ではなく, 初期条件や境界条件を考慮した「初期値(-境界値問題)の解」である. 常微分方程式を求積法で解く時でもわかるように, 初期値(-境界値)問題は任意定数(任意関数)を含まない.

[補足1]
空間変数について発散$\mathrm{div} \varphi = \nabla \cdot \varphi=0$であるような試験関数$\varphi$としては, 任意の$\psi \in \mathcal{D}$を取り$\varphi = \mathrm{curl} \psi$とすればよい.
(岡本久-中村周『関数解析』203ページ)

[補足2]
$\|u_n-u\|_{L^2}\to 0, \|v_n-v\|_{L^2}\to 0$とする. 三角不等式
$| \|u_n\|_{L^2}-\|u\|_{L^2}|\le \|u_n-u\|_{L^2}$
より十分大きな任意の$n$に対して
$\|u_n\|_{L^2}\lt \|u\|_{L^2}+1$
である. ゆえに
$\|u_n v_n - uv\|_{L^1}\le \|u_n\|_{L^2}\|v_n-v\|_{L^2}+\|v\|_{L^2}\|u_n-u\|_{L^2}\lt (\|u\|_{L^2}+1)\|v_n-v\|_{L^2}+\|v\|_{L^2}\|u_n-u\|_{L^2} \to 0.$

[補足3]
任意の正数$\varepsilon$に対して$U_\varepsilon(t, x)$を点$(t, x)$の$\varepsilon$-近傍とするとき,
$$\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y) \, (\, f^i(t-s, x-y) - (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(t, x)} E^i(s, y) \, (\, f^i(t-s, x-y) - (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy+\int_{U_\varepsilon(t, x)}E^i(s, y) \, (\, f^i(t-s, x-y) - (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy$$
である. $E^i(s, y)$は局所可積分関数であること より,
$$\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y) \, f^i(t-s, x-y)dsdy$$
は有限値である.

$$\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y) \, (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)dsdy=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(t, x)} E^i(s, y) \, (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)dsdy+\int_{U_\varepsilon(t, x)}E^i(s, y) \, (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)dsdy.$$

この第１項は有限値である:

$$\left|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(t, x)} E^i(s, y) \, (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)dsdy\right|$$
$$\le \sup\{E^i(s, y):(t-s, x-y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(t, x) \} \left|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(t, x)} (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy\right|$$
$$\le \sup\{E^i(s, y):(t-s, x-y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(t, x) \} \sum_{j=1}^3\|u^j\|_{L^2}\|\partial_{x^j}u^i\|_{L^2}$$
$$\lt \infty.$$

また, 第２項も有限値である:

$u^j \in B^k$だから
$|u^j| \le M^j$
となる定数$M^j \gt 0$, $\partial_{x^j}u^i \in B^{k-1}$だから
$|\partial_{x^j}u^i| \le m^j$
となる定数$m^j \gt 0$が存在するので, $M=\sum_{j=1}^3 M^j m^j$とするとき,
$|(u \cdot \nabla)u^i| \le M$ が成り立つこと, ヘルダーの不等式より

$$\left|\int_{U_\varepsilon(t, x)} E^i(s, y) \, (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)dsdy\right|$$
$\le \|E^i\|_{L^1(\overline{U_\varepsilon(t, x)})}\|(u \cdot \nabla)u^i\|_{L^\infty(U_\varepsilon(t, x))}$
$\le M\|E^i\|_{L^1(\overline{U_\varepsilon(t, x)})}$
$\lt \infty.$

(END)

正当化

$$u^i(t, x)=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E^i(s, y) \, ( \, f^i(t-s, x-y) - (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy$$

は以下の議論が正しければ数学的に正当化できるだろう, と考えた.

外力$f$は以下に述べる関数空間$\mathcal{W}$と定数$M$に対して
$$\varPhi[u](t, x)=\left( \int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3} E^i(s, y) \, ( \, f^i(t-s, x-y) - (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy\right)_{i=1, 2, 3}, $$
とする時
$$u\in S\Rightarrow\left\|(\varPhi[u]\right)^i\|_\mathcal{W}\le M$$
を満たすとする. ここで$S$は $\mathcal{W}$の閉部分空間:
$$S=\left\{u \in \mathcal{W}: \left\|u^i\right\|_\mathcal{W}\le M \right\}.$$

まず, ソボレフ空間について, $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3$においては
$W_0^{m, p}=W^{m, p}$
であることは既知である.

また, 線型位相空間として,

$\mathcal{D} \subset W^{m, p}, (W^{m, p})^{\prime}=W^{-m, p} \subset \mathcal{D}^{\prime}$

であり, $\mathcal{D}$は$W^{m, p}$で稠密であることも既知である. そこで, 関数空間$\mathcal{W}$を以下のように定義する.
$$X=\bigcap_{m=5}^\infty W^{m, 1}\cap W^{m, 2}$$

とおく. $X$のノルムはW^m=W^{m, 1}\cap W^{m, 2}$のノルムの下限: $$\|u^i\|_X=\inf_{m\ge 5}\|u^i\|_{W^{m, 1}}+\inf_{m\ge 5}\|u^i\|_{W^{m, 2}}$$ とする. $|u^i+v^i|X\le|u^i|{W^m}+|v^i|{W^m},$であるから$|\cdot|X$はノルムである. $W^m$が完備なので$X$は完備である. $L^2$の部分空間でバナッハ環を成す物が存在するので([補足1]参照), $\mathcal{W}$は, $X$の部分空間で, 或る定数$C \gt 1$が存在して $$\left\|u^i v^i\right\|_\mathcal{W}\le C\left\|u^i\right\|_\mathcal{W}\left\|v^i\right\|_\mathcal{W}$$(関数の積の分離); $$\left\|\partial_{x^j}u^i\right\|_\mathcal{W}\le C\left\|u^i\right\|_\mathcal{W}$$(微分の吸収); $$\left\|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y)u^i(t-s, x-y)dsdy\right\|_\mathcal{W}\le C\left\|u^i\right\|_\mathcal{W};$$ 任意の正数$\varepsilon$に対して$$\|\|(u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)\|_{L_{s, y}^1(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(0, 0))}\|_{L_{t, x}^1}\lt \infty,$$ を満たすとする([補足2], [補足3], [補足4]参照). このような性質で$\mathcal{W}$を定義する. $6C^3M\lt 1/2$ と取る. ゼロでない$u$が存在して$u\in S$である. 連続写像$\varPhi:S\to S$を定義できるとすると$\mathcal{W}$は完備な距離空間であり$S$は空でない閉部分空間だから, $\varPhi$が縮小写像であることが言えれば, バナッハの不動点定理(縮小写像の原理, 北田均『新訂版 数理解析学概論』261ページ-263ページ目)により, $\varPhi$の不動点の一意存在, すなわち 或る$u \in S$が一意に存在して $\varPhi[u]=u$ が言える. すると, $\mathcal{W}'\subset \mathcal{D}'$ と上の記事の後半の議論により, $u$が一意的弱解であることが言える. &&&prf $\varPhi[X] \subseteq X$であること $$D=\partial_s\partial_{y^1}\partial_{y^2}\partial_{y^3},$$ 多重指数$\alpha$に対して$|\alpha|\le m$とする. 任意の正数$\varepsilon$に対して$U_\varepsilon(0, 0)$を原点$(0, 0)$の$\varepsilon$-近傍とする. $|a+b|^p \le 2|a|^p+2|b|^p , (p=1, 2)$より $$\|D^\alpha E^i*(u\cdot\nabla)u^i\|_{L^p}^p$$ $$=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}\left|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}D^\alpha E^i(s, y)(u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy\right|^p dtdx$$ $$\le 2\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}\left|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(0, 0)}D^\alpha E^i(s, y)(u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)dsdy\right|^p dtdx+2\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}\left|\int_{U_\varepsilon(0, 0)}D^\alpha E^i(s, y)(u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)dsdy\right|^p dtdx$$ である. この第１項は有限値である:$u$に$X$で収束する${u_n}\subset V_0^{m, p}$を取る時, 上の直観的議論の[補足2]より, $$\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}\left|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(0, 0)}D^\alpha E^i(s, y) (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)dsdy\right|^p dtdx$$ $$=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}\lim_{n\to\infty}\left|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(0, 0)}D^\alpha E^i(s, y)(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t-s, x-y)dsdy\right|^p dtdx$$ $$\le \sup\{D^\alpha E^i(s, y):(s, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(0, 0)\}\lim_{n\to\infty} \left(\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}\|(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t-s, x-y)\|_{L_{s, y}^1(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(0, 0))}\,dtdx\right)$$ $$\le \sup\{D^\alpha E^i(s, y):(s, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(0, 0)\}\|\|(u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)\|_{L_{s, y}^1(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(0, 0))}\|_{L_{t, x}^1}$$ $$\lt \infty\, (p=1),$$ $$\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}\left|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(0, 0)}D^\alpha E^i(s, y) (u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)dsdy\right|^p dtdx$$ $$=\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}\lim_{n\to\infty}\left|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(0, 0)}D^\alpha E^i(s, y)(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t-s, x-y)dsdy\right|^p dtdx$$ $$\le \sup\{(D^\alpha E^i(s, y))^2:(s, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(0, 0)\}\|\|(u\cdot \nabla)u^i(t-s, x-y)\|_{L_{s, y}^1(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 - U_\varepsilon(0, 0))}\|_{L_{t, x}^1}^2$$ $$\lt \infty\, (p=2),$$ また, 第２項も有限値である:$\partial_s E^i=\Delta E^i+\delta(s)\otimes\delta(y)$だから$\partial{s}^{\alpha'} \partial{y}^{\beta'}$を$\partial{s}^{\alpha'} \partial{y}^{\beta'}\partial_s=D^\alpha$となるように取ると$|\alpha'|+|\beta'|\le m-1$で, $\partial{s}^{\alpha'} \partial{y}^{\beta'}\partial_s E^i=\partial{s}^{\alpha'} \partial{y}^{\beta'}\Delta E^i+\partial{s}^{\alpha'} \partial{y}^{\beta'}\delta(s)\otimes\delta(y)$であり台がコンパクトな超関数の積分は正当化されるから $$\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}\lim_{n\to\infty}\left|\int_{U_\varepsilon(0, 0)} D^\alpha E^i(s, y)(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t-s, x-y)dsdy\right|^p dtdx$$ $\le \lim{n\to\infty}|\partial{s}^{\alpha'} \partial{y}^{\beta'}\Delta E^i(s, y)|{L^1(U_\varepsilon(0, 0))}^p
|\partial{s}^{\alpha'} \partial{y}^{\beta'}(u_n \cdot \nabla)u_n^i(t, x)|{L^\infty}^p$ $=|\partial{s}^{\alpha'} \partial{y}^{\beta'}\Delta E^i(s, y)|{L^1(U_\varepsilon(0, 0))}^p
|\partial{s}^{\alpha'} \partial{y}^{\beta'}(u \cdot \nabla)u^i(t, x)|{L^\infty}^p$ $\lt \infty.$ ゆえに$E^i(u \cdot \nabla)u^i \in {X}$. 同様にして, $E^if^i\in X$. (台がコンパクトな超関数$g\in \mathcal{E}'$の台が或るコンパクト集合$K$に含まれる時, $\chi\in\mathcal{D}(U_\varepsilon(0, 0))$を$K$の近傍で恒等的に$1$に等しいように選べば, 任意の試験関数$\varphi\in\mathcal{D}(U_\varepsilon(0, 0))$に対して $\langle g,\varphi\rangle=\langle g, \chi \varphi\rangle+\langle g, (1-\chi)\varphi\rangle$ であり, ここで$\mathrm{supp}((1-\chi)\varphi)\subset U_\varepsilon(0, 0)-K$であり, 仮定により$g$は$U_\varepsilon(0, 0)-K$で$0$であるから, $\langle g,\varphi\rangle=\langle g, \chi \varphi\rangle=\langle \chi g, \varphi\rangle.$ 試験関数$\varphi\in \mathcal{E}$として$1$が選べるから $\int{U_\varepsilon(0, 0)} g(x)dx=\langle g, 1\rangle=\langle \chi g, 1\rangle :=\langle g, \chi\rangle$ が意味を持つ. よって台がコンパクトな$v\in \mathcal{D}(U_\varepsilon(0, 0))$に対して $\langle g, v\rangle=\langle vg, 1\rangle=\int{U_\varepsilon(0, 0)} g(x)v(x)dx.$) &&& $u, v \in \mathcal{W}$が或る意味で近ければ, $(u \cdot \nabla)u$と$(v \cdot \nabla)v$は近いかもしれない. そこで, &&&conj $\varPhi:S\to S$はリプシッツ連続 或る定数$L\gt 0$が存在して, 任意の$u, v \in S$に対して $$\left\|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y)((v \cdot \nabla)v^i(t-s, x-y)-(u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy\right\|_\mathcal{W}\le L \left\|u^i- v^i\right\|_\mathcal{W}.$$ &&& が成り立つかもしれない. 非線型項のリプシッツ連続性が成り立てば, $$\|\varPhi[u]^i-\varPhi[v]^i\|_\mathcal{W}$$ $$\le \sum_{p=1}^2 \sum_{|\alpha|\le m}\left(\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3}\left|\partial^\alpha\left(\int_{\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3} E^i(s,y)((v\cdot\nabla)v^i-(u\cdot\nabla)u^i)(t-s,x-y)dsdy\right|^p\right)dtdx\right)^{1/p}$$ $$\le\left\|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s,y)((v\cdot\nabla)v^i-(u\cdot\nabla)u^i)(t-s,x-y)dsdy\right\|_\mathcal{W}$$ $$\le L\left\|u^i-v^i\right\|_\mathcal{W}$$ が従う. ここで &&&conj $\varPhi$が縮小写像である可能性 $$L \lt 1$$ &&& が成り立てば, 議論は正当化される. &&&prf リプシッツ連続性の議論 $$\left\|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y)((v \cdot \nabla)v^i(t-s, x-y)-(u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy\right\|_\mathcal{W}$$ $$\le \sum_{j=1}^3 \left\|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y)(v^j (\partial_{x^j}v^i(t-s, x-y) - \partial_{x^j}u^i(t-s, x-y)) + (v^j \partial_{x^j}u^i(t-s, x-y)) - (u^j \partial_{x^j}u^i(t-s, x-y)))dsdy\right\|_\mathcal{W}$$ $$\le 3C^2\left\|v^j\right\|_\mathcal{W}\left\|\partial_{x^j}v^i - \partial_{x^j}u^i\right\|_\mathcal{W}+3C^2\left\|v^j-u^j\right\|_\mathcal{W}\left\|\partial_{x^j}u^i\right\|_\mathcal{W}$$ $$\le 3C^3M\left\|v^i-u^i\right\|_\mathcal{W}+3C^3M\left\|v^j-u^j\right\|_\mathcal{W}$$ $$\le 6C^3M\left\|u^i- v^i\right\|_\mathcal{W}.$$ ゆえに$L=6C^3M$とすればよい. &&& &&&prf $\varPhi$が縮小写像である可能性の証明 上の議論より $$\left\|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y)((v \cdot \nabla)v^i(t-s, x-y)-(u \cdot \nabla)u^i(t-s, x-y))dsdy\right\|_\mathcal{W}\le 6C^3M\left\|u^i- v^i\right\|_\mathcal{W}$$ であり $$6C^3M\lt 1/2.$$ &&& &&&conj ゼロでない$u$の存在 $f\neq 0$ ならば $u\neq 0.$ &&& &&&prf 任意の自然数$\ell\ge 1$と任意の$u\in \mathcal{W}$に対して $$\|\varPhi^{\ell}[u]^i\|_\mathcal{W}$$ $$\le\|\varPhi^{\ell}[u]^i-\varPhi^{\ell}[0]^i\|_\mathcal{W}$$ $$\le L\|\varPhi^{\ell-1}[u]-\varPhi^{\ell-1}[0]\|_\mathcal{W}$$ $$\le L^{\ell-1}\|\varPhi[u]-\varPhi[0]\|_\mathcal{W}$$ $$\le 2L^{\ell-1}M\le M.$$ ゆえに $$\|\varPhi^{\ell}[u]^i\|_\mathcal{W}\le M.$$ &&& [補足1] 確かに$L^2$-空間はバナッハ環ではないが, $L^2$-関数でノルム環の条件を満たす例もいくつもあり, また斉次べゾフ空間について $\dot{B}{2, 1}^2 \subset \dot{B}{2, 2}^2 = W^{2,2}$ であり$\dot{B}{2, 1}^2$はバナッハ環だから(小川卓克『非線型発展方程式の実解析的方法』98頁, $n=4, p=2$), ソボレフ空間の部分空間でバナッハ環を成す物の集合は小さすぎないだろう. モジュレーション空間$M^0{2, 1}$も, 積のノルムがノルムの積の定数倍以下になり, $M^0{2, 1} \subset M^0{2, 2}=L^2$である(澤野嘉宏『べゾフ空間論』230頁-231頁). だから$L^2$-空間の部分空間で積のノルムがノルムの積の定数倍以下になる集合は小さすぎないだろう. [補足2] ライプニッツの公式より二項係数の和で表される定数$c \gt 1$が, またソボレフの埋蔵定理より定数$c' \gt 1$が存在して, 微分はソボレフ空間$W^m$から$W^k$への有界線型作用素であるから定数$C' \gt 1$が存在して $$\|u^i\|_{B^k}\le c'\|u^i\|_\mathcal{W}$$であり, $u^i$を軟化子で近似して$u_n^i$とすると $$\left\|u^i v^i\right\|_{W^k}$$ $$\le\lim_{n\to\infty}\left\|(c\|u_n^i\|_{B^k})\,v^i\right\|_{W^k}$$ $$\le C'cc'\|u^i\|_\mathcal{W}\|v^i\|_\mathcal{W}$$ よって$\mathcal{W}$のひとつめの性質を満たす定数$C=C'cc'$が存在する. [補足3] $\partial{x^j}$ は$X$から$X$への閉作用素であるから閉グラフ定理より$\partial_{x^j}$は有界作用素である. [補足4] $$\left\|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y)u^i(t-s, x-y)dsdy\right\|_\mathcal{W}\le C\left\|u^i\right\|_\mathcal{W}$$ が成り立たないとすると, 任意の自然数$n$に対して収束列${u_n}\subset\mathcal{W}$が存在して $$\left\|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y)u_n^i(t-s, x-y)dsdy\right\|_\mathcal{W}\gt n\left\|u_n^i\right\|_\mathcal{W}$$ である. $u_n$を$$\frac{1}{\|u_n\|_\mathcal{W}}u_n$$で置き換えて改めて$u_n$と書くと $$\left\|\int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3}E^i(s, y)u_n^i(t-s, x-y)dsdy\right\|_\mathcal{W}\gt n$$ 左辺の$n\to\infty$の極限は上の議論により有限だが, 右辺はいくらでも大きくなる. これは不整合である. この研究は数学的に未完成なので, ご意見や考えがございましたらコメントをください. 共に研究してくださる方も募集しています.