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整数問題を瞬殺する

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定理名(フェルマーの小定理)

任意の正の整数a,素数pについてa^p≡a(modp)...☆
(a,p)=1なら、両辺をaで割ってa^p-1≡1(modp)

pが素数ならp^4+14は素数でないことを示せ

解答
mod5でp^4≡1よりp^4+14≡0(mod5)
与式は5より大きい5の倍数なので、示せた。

この問題はそのままフェルマーの小定理が使えましたが、
場合によっては☆の方が有効な場合があります

n^3-7n+9が素数となる整数nを求めよ

解答
mod3でn^3≡nより
-6n+9≡0
よって素数となるのは3のみ

この問題は、積の形を作ったりすることで解くこともできますが
a^p≡a(modp)を使うとすぐに3の倍数だと分かります。

今回はこの二つで終わります。おそらく追記していきます。

投稿日:2023211

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