$$ \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+1}+b}{x-1}=√2 となるa,bを求めよ $$
"高校生的"な解答では、必要条件を求めて~ということですが、
そもそもなぜそのような流れで考えていくのか？という疑問に答えるため
今回は、テイラー展開を用いて考えていきます。
$$
\lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+1}+b}{x-1}=√2
$$
$$
\Longleftrightarrow\lim_{s\to 0 } \frac{a \sqrt{s+2}+b}{s}=√2
$$
$ \sqrt{1+s} =1+ \frac{1}{2}s- \frac{1}{8}s^2$...を使うと分子は
$ \sqrt{2}a\sqrt{1+ \frac{1}{2}s} +b$となり
$$
\approx\frac{ \sqrt{2}a (1+ \frac{1}{2}{s})+b}{s}
$$
これを整理すると
$$
\frac{√2a+b}{s}+ \frac{√2a}{2}となり、これが√2と一致するような
a,bは
√2a+b=oかつa=2となるわけです。
$$
※近似に関しての補足ですが、それ以降はs,s^2となるので、sが0に近づく時0になるので無視できます。