1 , 2^2 , 3^3^3 …の逆数和は超越数(無理数)である。
$$ {}^n \! x := \underbrace {x^{ x^{\cdots x} } } _{n個}とすると、 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{^nn} は無理数(超越数)である。 (n\in \mathbb{N}) $$
$$
a_n= \log_{2}{^{(n+1)}\! {(n+1)}}とする。a_nは単調増加である。
$$
$$
ここで、\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}を考えると、\\
$$
$$
\begin{align}
\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
&=\lim_{n \to \infty}\frac{\log_{2}{^{(n+2)}\! {(n+2)}}}{\log_{2}{^{(n+1)}\! {(n+1)}}}\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{^{(n+1)}\! {(n+2)}\log_{2}{(n+2)}}
{^{n}\! {(n+1)}\log_{2}{(n+1)}}\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{^{(n+1)}\! {(n+2)}}
{^{n}\! {(n+1)}}\times
\lim_{n \to \infty}\frac{\log_{2}{(n+2)}}{\log_{2}{(n+1)}}\\
&=\lim_{n \to \infty}\frac{^{(n+1)}\! {(n+2)}}
{^{n}\! {(n+1)}}\times 1=\infty
\end{align}
\\
$$
$$
であるから、f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{a_n}は空隙級数である。\\
$$
$$
また、\frac{1}{{}^1 \! 1} =1であるから、
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{}^n \! n}=1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{{}^n \! n}
と変形できる。\\
$$
$$
そして、\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{{}^n \! n}=\sum_{n=1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{a_n}
と変形できる。
$$
$$
これは、f(x)にx=\frac{1}{2}を代入したものである。\\
$$
$$
f(x)が空隙級数のとき、
任意の 0 \lt \left| \alpha \right| \lt 1 に対し、f(\alpha)は超越数であるから、\\
$$
$$
f(\frac{1}{2})=\sum_{n=1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{a_n}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{{}^n \! n}は超越数である。\\
$$
$$
よって１は代数的数であるから、1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{{}^n \! n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{}^n \! n}は超越数。\\
$$
$$
超越数である実数は無理数である。よって題意は示された。
$$
あとがき
追記 6/20/2023
見にくすぎたので改行しました。