1 , 2^2 , 3^3^3 …の逆数和は超越数(無理数)である。

$$ a_n= \log_{2}{^{(n+1)}\! {(n+1)}}とする。a_nは単調増加である。ここで、\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}を考えると、\\ \begin{align} \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} &=\lim_{n \to \infty}\frac{\log_{2}{^{(n+2)}\! {(n+2)}}}{\log_{2}{^{(n+1)}\! {(n+1)}}}\\ &=\lim_{n \to \infty}\frac{^{(n+1)}\! {(n+2)}\log_{2}{(n+2)}} {^{n}\! {(n+1)}\log_{2}{(n+1)}}\\ &=\lim_{n \to \infty}\frac{^{(n+1)}\! {(n+2)}} {^{n}\! {(n+1)}}\times \lim_{n \to \infty}\frac{\log_{2}{(n+2)}}{\log_{2}{(n+1)}}\\ &=\lim_{n \to \infty}\frac{^{(n+1)}\! {(n+2)}} {^{n}\! {(n+1)}}\times 1=\infty \end{align} \\ であるから、f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{a_n}は空隙級数である。\\ また、\frac{1}{{}^1 \! 1} =1であるから、 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{}^n \! n}=1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{{}^n \! n} と変形できる。\\ そして、\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{{}^n \! n}=\sum_{n=1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{a_n} と変形できる。これは、f(x)にx=\frac{1}{2}を代入したものである。\\ f(x)が空隙級数のとき、任意の 0 \lt \left| \alpha \right| \lt 1 に対し、f(\alpha)は超越数であるから、\\ f(\frac{1}{2})=\sum_{n=1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{a_n}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{{}^n \! n}は超越数である。\\ よって１は代数的数であるから、1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{{}^n \! n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{}^n \! n}は超越数。\\ 超越数である実数は無理数である。よって題意は示された。 $$