ultralimitに関するメモ
最近使ったのでメモ. 説明は需要があれば書きます.
諸概念の定義
まずは filter を定義する.
次の3条件を満たす $\N$ 上の部分集合族 $\mathcal F \subseteq \mathcal P(\N)$ のことを ($\N$上の) filter という :
- $\N \in \mathcal F$,$\emptyset \notin \mathcal F$である.
- 任意の$A \in \mathcal F$,$B \subseteq \N$について$A \cup B \in \mathcal F$である.
- 任意の$A, B \in \mathcal F$について$A \cap B \in \mathcal F$である.
$\emptyset \notin \mathcal F$といった条件から,$A \in \mathcal F$かつ$A^c \in \mathcal F$となる$A \subseteq \N$は存在しないことに注意する.
また, 今回は$\N$上でのみ考えているが, 実際には一般の(非空)集合上ででも同様の概念を考えることが出来る.
$\N$の補有限部分集合全体, すなわち次の集合族は filter になる :
\begin{align}
\{A \subseteq \N : \abs{A^c} < \infty \}
\end{align}
これを Fréchet filter という.
次に, ultrafilter を定義する.
$\N$ 上の filter $\mathcal U \subseteq \mathcal P(\N)$ が次の条件を満たすとき ultrafilter であるという :
- 任意の$A \subseteq \N$について, $A \in \mathcal U$または$A^c \in \mathcal U$である.
ultrafilter の定義として, 以下のものを用いても良い.
($\N$上) の filter $\mathcal U \subseteq \mathcal P(\N)$について, 以下の条件は同値である :
- $\mathcal U$は ultrafilter である.
- 任意の$A, B \subseteq \N$について, $A \cup B \in \mathcal U$ならば$A \in \mathcal U$または$B \in \mathcal U$である.
- $\mathcal U$は集合$\Sigma := \{\mathcal F \subseteq \mathcal P(\N) \mid \mathcal F : \text{filter}\}$の包含関係$\subseteq$に関する極大元である. つまり, 任意の filter $\mathcal F \in \Sigma$について, $\mathcal U \subseteq \mathcal F$ならば$\mathcal U = \mathcal F$である.
1 ならば 2 : $\mathcal U$を ultrafilter とし, $A, B \subseteq \N$が$A \cup B \in \mathcal U$を満たしているとする. このとき, $A \in \mathcal U$でないと仮定すると, $\mathcal U$が ultrafilter であることから$A^c \in \mathcal U$なので$B \cup A^c \in \mathcal U$である. よって, $B = B \cap (A \cup A^c) = (B \cup A^c) \cap (B \cup A) \in \mathcal U$となる.
2 ならば 1 : $\mathcal U$が条件2を満たしているとする. このとき, 任意の$A \subseteq \N$について, $A \cup A^c = \N \in \mathcal U$なので$A \in \mathcal U$または$A^c \in \mathcal U$である.
1 ならば 3 : $\mathcal U$を ultrafilter とし, $\mathcal U \subseteq \mathcal F$なる filter $\mathcal F$を任意に取る. このとき, 任意の$A \in \mathcal F$について, $A^c \notin \mathcal F$であることから$A^c \notin \mathcal U$となる. よって, $\mathcal U$は ultrafilter なので$A \in \mathcal U$となり, $\mathcal F \subseteq \mathcal U$が得られる.
3 ならば 1 : $\mathcal U$を$\Sigma$の極大元とする. このとき, 任意の$A^c \notin \mathcal U$なる$A \subseteq \N$に対し, $\mathcal F_A$ を次で定める :
\begin{align}
\mathcal F_A := \{B \subseteq \N \mid \exists U \in \mathcal U. U \cap A \subseteq B \}
\end{align}
すると, $\mathcal F_A$は$\N$上の filter となる. (ただし, $A^c \notin \mathcal U$から$U \subseteq A^c$となる$U \in \mathcal U$が存在しないので, 任意の$U \in \mathcal U$について$U \cap A = U \setminus A^c \neq \emptyset$であることに注意する) そして, $\mathcal U \subseteq \mathcal F_A$であることから$\mathcal U = \mathcal F_A$が得られる. よって, $A \in \mathcal F_A = \mathcal U$である. $\Box$
特に, 3つ目の条件 (とZornの補題) から, 任意 filter $\mathcal F$に対して, $\mathcal F$を含む ultrafilter $\mathcal U$が存在することが分かる.
$\mathcal U$を ($\N$上の) ultrafilter, $\{x_i\}_i$を位相空間$X$上の点列とする.
このとき, $\{x_i\}_i$の$\mathcal U$-極限とは, 次の条件を満たす点$x \in X$のことである :
- 任意の近傍$N \in \mathcal N(x)$について$\{i \in \N \mid x_i \in N\} \in \mathcal U$である.
この点$x$のことを$\lim_{i, \mathcal U} x_i$と表す.
この極限自体は一般の filter に対して全く同様に定義することが出来ることに注意する. 特に, Fréchet filter による極限は通常の意味での極限になる.
ultralimit の性質
一意性と存在性
通常の点列の極限と同様に, 位相空間のHausdorff性といった条件から$\mathcal U$-極限の一意性といった性質が得られる.
$X$がHausdorff空間のとき, その$\mathcal U$-極限は一意的である.
$\{x_i\}_{i\in\N}$を$X$上の点列とし, $x, x' \in X$をその$\mathcal U$-極限とする. $x$と$x'$の近傍$N \in \mathcal N(x)$と$N' \in \mathcal N(x')$を任意に取る.
このとき, $\{x_i\}_i$の収束性から, $A := \{i \in \N \mid x_i \in N\}$と$A' := \{i \in \N \mid x_i \in N'\}$は共に$\mathcal U$の元となる. よって, $A \cap A' \in \mathcal U$となるので, 特に$A \cap A' \neq \emptyset$である.
そこで, $i_0 \in A \cap A'$を取ると, $x_{i_0} \in N \cap N'$となるので, $N \cap N' \neq \emptyset$である. よって, $x$と$x'$は分離できないので, $X$のHausdorff性より$x = x'$である. $\Box$
$X$がコンパクト空間のとき, その$\mathcal U$-極限は常に存在する.
(背理法) ある点族$\{x_i\}_{i \in \N}$が$\mathcal U$-極限をもたないと仮定する. このとき, 各$x \in X$について$A_x := \set{i \in \N}{x_i \in U_x} \notin \mathcal U$となる開近傍 $U_x \in \mathcal N(x)$が存在する.
すると$\{U_x\}_{x \in X}$は$X$の開被覆なので, $X$のコンパクト性よりある$n \in \N$と$x_1, \dots, x_n \in X$が存在して$X = \bigcup_{k=1}^n U_{x_k}$となる.
このとき, $\bigcup_{k=1}^n A_{x_k} = \N \in \mathcal U$なので, ultrafilter の特徴付けから$A_{k_0} \in \mathcal U$となる$k_0 \in \{1, \dots, n\}$が存在するが, これは$U_{x_{k_0}}$の取り方に矛盾する. $\Box$
この証明は$\mathcal U$が ultrafilter であることが本質的に効いていることに注意する.
ここから, コンパクトハウスドルフ空間上の点列は常に一意的な$\mathcal U$-極限をもつことが分かる.
連続性
連続写像についても通常の極限と同様の性質が成り立つ.
$f : X \to Y$を位相空間の間の写像とする. このとき, $f$が点$x \in X$で連続ならば, $x$に$\mathcal U$-収束する任意の点列$\{x_n\}_n$について, $\{f(x_n)\}_n$は$f(x)$に$\mathcal U$-収束する.
$x$に$\mathcal U$-収束する点列$\{x_n\}_n$を任意に取る. このとき, $f(x)$の任意の近傍$N \in \mathcal N_Y(f(x))$について, $f^{-1}(N)$は$x$の近傍なので
\begin{align}
\{i \in \N \mid f(x_i) \in N \}
= \{i \in \N \mid x_i \in f^{-1}(N) \}
\in \mathcal U
\end{align}
となり, $f(x) = \lim_{i, \mathcal U} f(x_i)$であることが分かる. $\Box$