【前編】一般のモノイダル圏上の豊穣圏論におけるweighted limitについて

圏$\mathfrak{M}$上のモノイダル構造(monoidal structure over a category $\mathfrak{M}$)とは、以下のデータからなる:

1. テンソル積: 函手$\otimes\colon\mathfrak{M}\times\mathfrak{M}\to\mathfrak{M}$;
2. 単位対象: 対象$I\in\mathfrak{M}$;
3. 結合子: 自然同型$\alpha\colon\otimes\circ(\otimes\times \operatorname{id}_{\mathfrak{M}})\Rightarrow\otimes\circ(\operatorname{id}_{\mathfrak{M}}\times\otimes)$;
4. 左単位子: 自然同型$\lambda\colon I\otimes \operatorname{id}_{\mathfrak{M}}\Rightarrow \operatorname{id}_{\mathfrak{M}}$;
5. 右単位子: 自然同型$\rho\colon \operatorname{id}_{\mathfrak{M}}\otimes I\Rightarrow \operatorname{id}_{\mathfrak{M}}$;

これらのデータは、以下の公理を満たす:

1. 結合律: 以下の図式が可換となる:
   モノイダル構造の結合律
2. 単位律: 以下の図式が可換となる:
   モノイダル構造の単位律

モノイダル圏$\mathfrak{M},\mathfrak{N}$に対して、$\mathfrak{M}$から$\mathfrak{N}$へのlaxモノイダル函手(lax monoidal functor from $\mathfrak{M}$ to $\mathfrak{N}$)とは、以下のデータからなる:

1. 函手構造: 下部圏の間の函手$T\colon\mathfrak{M}\to\mathfrak{N}$;
2. 劣加法手: 自然変換$\eta\colon\otimes_{\mathfrak{N}}\circ(T\times T)\Rightarrow T\circ\otimes_{\mathfrak{M}}$;
3. 単位手: $\mathfrak{N}$の射$\mu\colon I_{\mathfrak{N}}\to T(I_{\mathfrak{M}})$;

これらのデータは以下の公理を満たす:

1. 結合律: 以下の図式が可換となる:
   モノイダル函手の結合律
2. 単位律: 以下の図式が可換となる:
   モノイダル函手の単位律

モノイダル函手$F,G\colon\mathfrak{M}\to\mathfrak{N}$に対して、$F$から$G$へのモノイダル自然変換(monoidal natural transformation from $F$ to $G$)とは、自然変換$\sigma\colon F\Rightarrow G$であって以下の図式がそれぞれ可換となる:
自然変換とモノイダル構造の両立

$\mathfrak{M}$上の豊穣圏(category enriched over $\mathfrak{M}$)、あるいは単に$\mathfrak{M}$-圏($\mathfrak{M}$-category)とは、以下のデータからなる:

1. 対象の集まり: $\operatorname{Ob}\mathcal{A}$;
2. 各対象$a,b\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$に対して、$\mathfrak{M}$の対象$\mathcal{A}(a,b)$;
3. 各対象$a\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$に対して、$\mathfrak{M}$の射$\operatorname{id}_a\colon I\to\mathcal{A}(a,a)$;
4. 各対象$a,b,c\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$に対して、$\mathfrak{M}$の射$(\otimes_{\mathcal{A}})_{ac}^b\colon\mathcal{A}(b,c)\otimes\mathcal{A}(a,b)\to\mathcal{A}(a,c)$;

これらのデータは以下の公理をそれぞれ満たす:

1. 結合律: 各$a,b,c,d\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$に対して、以下の図式が可換となる:
   合成の可換律
2. 単位律: 各$a,b\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$に対して、以下の図式が可換となる:
   合成の単位律

豊穣圏$\mathcal{A}=(\operatorname{Ob}\mathcal{A},(\mathcal{A}(a,b):a,b\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}),\operatorname{id}_{\bullet},\otimes_{\mathcal{A}})$に対して、$a\in\operatorname{Ob}\mathcal{A}$を$a\in\mathcal{A}$と表すこととする。

$\mathfrak{M}$-圏$\mathcal{A},\mathcal{B}$に対して、$\mathcal{A}$から$\mathcal{B}$への豊穣函手(enriched functor from $\mathcal{A}$ to $\mathcal{B}$)、あるいは単に$\mathfrak{M}$-函手($\mathfrak{M}$-functor)とは、以下のデータからなる:

1. 対象の間の写像: $\operatorname{Ob}F\colon\operatorname{Ob}\mathcal{A}\to\operatorname{Ob}\mathcal{B}$ ($\operatorname{Ob}F$の$a\in\mathcal{A}$における値を$Fa$と表す);
2. Hom対象の間の射: 各$a,a^\prime\in\mathcal{A}$に対して、$\mathfrak{M}$の射$F_{aa^\prime}\colon\mathcal{A}(a,a^\prime)\to\mathcal{B}(Fa,Fa^\prime)$;

これらのデータは、以下の公理をそれぞれ満たす:

1. 合成を保つ: 各$a,b,c\in\mathcal{A}$に対して、以下の図式が可換となる:
   合成との両立
2. 恒等射を保つ: 各$a\in\mathcal{A}$に対して、以下の図式が可換となる:
   恒等射との両立

$\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$を$\mathfrak{M}$-圏、$F,G\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$を$\mathfrak{M}$-函手とする。
このとき、$F$から$G$への豊穣自然変換(enriched natural transformation from $F$ to $G$)、あるいは単に$\mathfrak{M}$-自然変換$\theta\colon F\Rightarrow G$とは、$\mathfrak{M}$の射の族$(I\xrightarrow{\theta_a}\mathcal{B}(Fa,Ga))_{a\in\mathcal{A}}$であって、次の図式が可換となる:
射の族の自然性

$\mathfrak{M}$-函手$F\colon\mathcal{J}\to\mathcal{A}$に対して、$F$の$W\colon\mathcal{J}\to\mathfrak{M}$で重み付けられた極限(weighted limit over $F$ with $W$)を、$\mathfrak{M}$-函手$[\mathcal{J},\mathfrak{M}](W,\mathcal{A}(-,F))\colon\mathcal{A}^\mathsf{op}\to\mathfrak{M}$の表現として定義する。
すなわち、$a\in\mathcal{A}$について自然な同型

$\mathcal{J}$,$\mathcal{K}$,$\mathcal{L}$を$\mathfrak{M}$-圏とし、$F\colon\mathcal{J}\to\mathcal{K}$, $E\colon\mathcal{J}\to\mathcal{L}$を$\mathfrak{M}$-函手とする。$F$に沿った$E$の左Kan拡張(left Kan extension of $E$ along $F$)とは、$\mathfrak{M}$-函手$F^\dagger E\colon\mathcal{K}\to\mathcal{L}$と$\mathfrak{M}$-自然変換$\eta\colon E\Rightarrow(F^\dagger E)\circ F$の組$(F^\dagger E,\eta)$であって、以下の普遍性を満たすものである:

• $\mathfrak{M}$-函手$G\colon\mathcal{K}\to\mathcal{L}$と$\mathfrak{M}$-自然変換$\theta\colon E\Rightarrow G\circ F$の組$(G,\theta)$に対して、一意的な$\mathfrak{M}$-自然変換$\tau\colon F^\dagger E\Rightarrow G$が存在して、$\theta=\tau_F\circ\eta$と分解できる。

他方、$F$に沿った$E$の右Kan拡張(right Kan extension $E$ along $F$)とは、$\mathfrak{M}$-函手$F^\ddagger E\colon\mathcal{K}\to\mathcal{L}$と$\mathfrak{M}$-自然変換$\varepsilon\colon(F^\ddagger E)\circ F\Rightarrow E$の組$(F^\ddagger E,\varepsilon)$であって、以下の普遍性を満たすものである:

• $\mathfrak{M}$-函手$G\colon\mathcal{K}\to\mathcal{L}$と$\mathfrak{M}$-自然変換$\theta\colon G\circ F\Rightarrow E$の組$(G,\theta)$に対して、一意的な$\mathfrak{M}$-自然変換$\sigma\colon G\Rightarrow F^\ddagger E$が存在して、$\theta=\varepsilon\circ\sigma_F$と分解できる。