ネーター環の同値な定義と既約イデアル分解について

（昇鎖条件）$⇒$（極大条件) から示す
$あるRのイデアル族$$\mathfrak{A} \neq \emptyset $$が存在して, \subsetに関して極大元を持たないと仮定する.$
$この時「\forall I \in \mathfrak{A},\exists J \in \mathfrak{A},I \subsetneq J」$であるが, この操作により
$ I_1 \subsetneq I_2 \subsetneq I_3 \subsetneq I_4 \subsetneq \dots $,
となるイデアル増大列$\{I_n\}_{n \in \mathbb{N}}$が作れて昇鎖条件に矛盾するので示せた.

次に（極大条件）$⇒$（昇鎖条件) を示す
「$\{I_n\}_{n \in \mathbb{N}}:$昇鎖列$(R \supset I_n:\text{ideal})$」を取る.
仮定より「$\exists J \in \{I_n\}_{n \in \mathbb{N}},\forall n \in \mathbb{N}:J \subset I_n⇒J=I_n$」である.
ここで「$\exists n_0 \in \mathbb{N} ,J = I_{n_0}$」である.
$\therefore 「J = I_{n_0}\subset I_{{n_0}+1}\subset \dots = J$ $ (\because\{I_n\}_{n \in \mathbb{N}}:昇鎖列)$」
$\therefore「 \exists n := n_0 \in \mathbb{N},I_{n_0} =I_{{n_0}+1}=I_{{n_0}+2}=\dots$」
これは昇鎖条件を示している.

$R:\text{Noetherianring}$とする.
「$\mathfrak{B}:Rの既約イデアルの共通部分で表せない\text{ideal}の族$」とおく.
$\mathfrak{B} \neq \emptyset$と仮定する.
命題1で扱った極大条件により, 極大元$I \in \mathfrak{B}$がとれる.
$I \in \mathfrak{B}$より,特に$I$は既約イデアルでないので
$I=J_1 \cap J_2 \land I \subsetneq J_1 \land I \subsetneq J_2$$(R \supset \exists J_1,J_2:\text{ideal})$
$(\because \neg「I=J_1 \cap J_2 ⇒I=J_1 \lor I=J_2」⇔「I=J_1 \cap J_2 \land I \subsetneq J_1 \land I \subsetneq J_2」)$
ここで$I$の極大性により$J_1,J_2 \notin \mathfrak{B}$
$\displaystyle\therefore$$\exists K_{1}^1,K_{2}^1,...,K_{n}^1,K_{1}^2,K_{2}^2,...,K_{m}^2 \in R,「J_1=\bigcap_{i=1}^{n}K_{i}^1,J_2=\bigcap_{i=1}^{m}K_{i}^2」$$\displaystyle (K_{i}^{j}:\text{irreducible})$
$\displaystyle\therefore I=\bigcap_{i_2=1}^{m} \bigcap_{i_1=1}^{n} \bigcap_{k=1,2}K_{i_k}^k$
以上より$I \notin \mathfrak{B}$であり矛盾
$\therefore \mathfrak{B} = \emptyset$, よって題意は示された.