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解説大学数学以上
文献あり

多重積分における変数変換の公式の直観的議論 (3月7日 20:46 改訂)

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直観的議論ですが, 数学的主張に誤りや普通の感想があればコメントをください.

変数変換の公式

$\mathbb{R}^N$の有界閉領域$E$と関数$g=(g_1, …, g_N):E\to \mathbb{R}^N$について$g$$E$を含む開集合$U$から$\mathbb{R}^N$への$C^1$級微分同相写像であり$g$のヤコビ行列$J_g$の行列式$\det(J_g)$$U$において$0$ではなく$f$$D=g(E)$で連続ならば
$$\int_D f(x)dx=\int_E f(g(y))|\det(J_g(y))|dy$$

直観的議論

線型写像$T:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}^N$はその表現行列を$A$とするとき$\mathbb{R}^N$の平行$2N$面体の体積を$|\det(A)|$倍する. これは$T$の表現行列$A$を定める基底$\mathcal{E}$$\mathcal{E}\to \mathcal{F}$と取り替え, 基底の取り替えの行列を$P$とすると$P$は正則であり基底$\mathcal{F}$については平行$2N$面体の体積が$|\det(P^{-1}AP)|=|\det(P^{-1})\det(A)\det(P)|=|\det(P)^{-1}\det(A)\det(P)|=|\det(A)|$倍であるから基底の取り方に依らない. このこと, および$g$$U$の各点$y$の近傍でヤコビ行列$J_g(y)$で高位の無限小を除き線型近似されることを用いると, $\Delta x_1, …, \Delta x_N$で張られる$D$を近似する平行$2N$面体の微小体積$\Delta x$$E$を近似する平行$2N$面体の微小体積$\Delta y$$|\det(J_g(y))|$倍に変換される. よって$f(g(y))|\det(J_g(y))|\Delta y$$E$で足し上げた極限について公式が成り立つ.

参考文献

[1]
齋藤, 線型代数入門
[2]
北田, 新訂版 数理解析学概論
[3]
新井, ルベーグ積分講義
投稿日:224
更新日:37

投稿者

研究の記事の他に, 発見シリーズ, 行間シリーズ, 超入門シリーズも書いています. 北田均『数理解析学概論』新訂版序文の「ほぼ独学と思われる熱心な読者」, 結城浩『数学ガールの秘密ノート/行列が描くもの』あとがきの「類太郎」. 指摘を受けたり自分で誤りに気付いて, 後から訂正することも多々あります. 寛容な目で温かい目で見て頂きたいです. コメント欄は事実でないコメントや侮辱あるいは中傷のコメントで荒らされておりPTSDになったので見ていません. 何かあればXのDMやリプでご連絡を下さい. 悪意のあるきつい言い方をされることが多々ありますが, それさえしなければ指摘については真摯に対応したいです. 普通のご指摘でも私は人間なので必ずしもすぐには対応できないことはご理解ください. 数式, 特に偏微分方程式が好き. 多変数複素解析のヘルマンダーの方法:複素多様体における外微分 d を d=∂′+∂′′ とするとき‚ 既知微分形式 f と未知微分形式 u について ∂′′u=f (ディーバー方程式)の可解性で諸問題を考える方法, 複素多様体における微分幾何として複素モンジュ-アンペール方程式の解の存在, 代数解析の偏微分方程式への応用でも何かを遺したいです.

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研究の記事の他に, 発見シリーズ, 行間シリーズ, 超入門シリーズも書いています. 北田均『数理解析学概論』新訂版序文の「ほぼ独学と思われる熱心な読者」, 結城浩『数学ガールの秘密ノート/行列が描くもの』あとがきの「類太郎」. 指摘を受けたり自分で誤りに気付いて, 後から訂正することも多々あります. 寛容な目で温かい目で見て頂きたいです. コメント欄は事実でないコメントや侮辱あるいは中傷のコメントで荒らされておりPTSDになったので見ていません. 何かあればXのDMやリプでご連絡を下さい. 悪意のあるきつい言い方をされることが多々ありますが, それさえしなければ指摘については真摯に対応したいです. 普通のご指摘でも私は人間なので必ずしもすぐには対応できないことはご理解ください. 数式, 特に偏微分方程式が好き. 多変数複素解析のヘルマンダーの方法:複素多様体における外微分 d を d=∂′+∂′′ とするとき‚ 既知微分形式 f と未知微分形式 u について ∂′′u=f (ディーバー方程式)の可解性で諸問題を考える方法, 複素多様体における微分幾何として複素モンジュ-アンペール方程式の解の存在, 代数解析の偏微分方程式への応用でも何かを遺したいです.