多重積分における変数変換の公式の直観的議論 (3月7日 20:46 改訂)
直観的議論ですが, 数学的主張に誤りや普通の感想があればコメントをください.
$\mathbb{R}^N$の有界閉領域$E$と関数$g=(g_1, …, g_N):E\to \mathbb{R}^N$について$g$が$E$を含む開集合$U$から$\mathbb{R}^N$への$C^1$級微分同相写像であり$g$のヤコビ行列$J_g$の行列式$\det(J_g)$が$U$において$0$ではなく$f$が$D=g(E)$で連続ならば
$$\int_D f(x)dx=\int_E f(g(y))|\det(J_g(y))|dy$$
線型写像$T:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}^N$はその表現行列を$A$とするとき$\mathbb{R}^N$の平行$2N$面体の体積を$|\det(A)|$倍する. これは$T$の表現行列$A$を定める基底$\mathcal{E}$を$\mathcal{E}\to \mathcal{F}$と取り替え, 基底の取り替えの行列を$P$とすると$P$は正則であり基底$\mathcal{F}$については平行$2N$面体の体積が$|\det(P^{-1}AP)|=|\det(P^{-1})\det(A)\det(P)|=|\det(P)^{-1}\det(A)\det(P)|=|\det(A)|$倍であるから基底の取り方に依らない. このこと, および$g$が$U$の各点$y$の近傍でヤコビ行列$J_g(y)$で高位の無限小を除き線型近似されることを用いると, $\Delta x_1, …, \Delta x_N$で張られる$D$を近似する平行$2N$面体の微小体積$\Delta x$は$E$を近似する平行$2N$面体の微小体積$\Delta y$の$|\det(J_g(y))|$倍に変換される. よって$f(g(y))|\det(J_g(y))|\Delta y$を$E$で足し上げた極限について公式が成り立つ.