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🐟🍊みかん🍊🐟が感動した定理とその系

$$\newcommand{bm}[0]{\boldsymbol} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

はじめに

どうもこんにちは、🐟🍊みかん🍊🐟です。今回は僕が遭遇した時に感動した定理をあげて、それに対して系をあげていこうと思います。ちなみに追記されていく可能性があります。

証明は書いたり書かなかったりします。

解析学

Stokes-Cartanの定理

Stokes-Cartanの定理

$M$を向き付け可能な区分的に滑らかな多様体とし、$\omega$を微分形式とする。このとき、次の等式が成り立つ。
$$ \int_{\partial M}\omega=\int_{M}d\omega $$

最近知った超強い定理です。微分形式をきちんと学んだ状態でこの定理を初見遭遇すると本当に震えるほど感動します。もしかしたらみなさんから感動を奪ってしまったかもしれません。そうであれば申し訳ないです。この定理はまさに「伏線回収」と呼ぶに相応しいと思います。

上の式で出てきた$d$は通常の微分ではなく外微分というもので、要するに全微分を一般の微分形式に拡張したものと考えることができます。すさまじく強い定理なので、系がたくさんあります。系に強い主張があるから感動したわけではないです。

微分積分学の基本定理

区間$[a,b]$上で微分可能な関数関数$f$について、
$$ \int_a^bf'(x)dx=f(b)-f(a) $$

Stokes-Cartanの定理より、
\begin{aligned} \int_a^bf'(x)dx &=\int_a^bdf\\ &=\int_{\partial[a,b]}f\\ &=f(b)-f(a) \end{aligned}

FTCが系というのはなかなか凄いですね。ちなみに、ベクトル解析の数多くの公式も導くことができます。

Gaussの発散定理

$\R^3$で定義された滑らかなベクトル場$\bm F$に対して、$V$を$\R^3$において滑らかな境界$\partial V$をもつ有界領域とすると、
$$ \iiint_V\nabla\cdot\bm FdV=\iint_{\partial V}\bm F\cdot d\bm S $$
が成立する。

Stokes-Cartanの定理より、
\begin{aligned} \int_{\partial V}\bm F\cdot (dx\wedge dy+dy\wedge dz+dz\wedge dx) &=\int_V\left(\frac{\partial\bm F}{\partial x}+\frac{\partial\bm F}{\partial y}+\frac{\partial\bm F}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz\\ &=\int_V\nabla\cdot\bm FdV \end{aligned}

Kelvin-Stokesの定理

$\R^3$で定義された滑らかなベクトル場$\bm F$に対して、$S$を$\R^3$において滑らかな境界$\partial S$をもつ有界な面とすると、
$$ \iint_S(\nabla\times\bm F)\cdot d\bm S=\int_{\partial S}\bm F\cdot d\bm l $$

Stokes-Cartanの定理より
\begin{aligned} \int_{\partial S}\bm F\cdot(dx+dy+dz) &=\int_S\left(\frac{\partial\bm F}{\partial y}-\frac{\partial\bm F}{\partial z}\right)dy\wedge dz+\left(\frac{\partial\bm F}{\partial z}-\frac{\partial\bm F}{\partial x}\right)dz\wedge dx+\left(\frac{\partial\bm F}{\partial x}-\frac{\partial\bm F}{\partial y}\right)dx\wedge dy\\ &=\int_S(\nabla\times\bm F)\cdot d\bm S \end{aligned}

「系」感が半端じゃないですね。ちなみに上記二つの定理と次の定理はほとんど同じ証明手法を取っていて、そこから「あやしい」と感じていたので感動が深まったというのはあると思います。

Greenの定理

$xy$平面上の領域$D$において、$D$の内部で$C^1$級である連続関数$P(x,y),Q(x,y)$に対して次の等式が成り立つ。
$$ \int_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial x}\right)dxdy $$

Stokes-Cartanの定理より
\begin{aligned} \int_{\partial D}Pdx+Qdy &=\int_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial x}\right)dx\wedge dy\\ &=\int_D\left(\frac{\partial Q}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial x}\right)dxdy \end{aligned}

運用のコツとしては外微分の逆をするのは大変なので、境界側から式変形するといいです。(覚えちゃっているならそんなことしなくていいけど)微分形式を形式的に学んだだけの人は「暗記量削減定理」くらいになってしまいますが、きちんと学ぶとこの定理の美しさがよくわかると思います。

ベクトル解析では勾配、発散、回転の量が出てきましたが、Wedge積と外微分、Hodge starなどを用いることで記述できます。これらも同一の背景を持っていたんですね。Greenの定理が出てきたのでCauchyの積分定理を証明しておきます。

Cauchyの積分定理

$D$を領域、$f\colon\C\mapsto\C$を$D$の内部で正則かつ境界上で連続である関数であるとき、
$$ \oint_{\partial D}f(z)dz=0 $$

Greenの定理により、$\partial D=C$として、$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$とすると$(u,v\colon\R^2\mapsto\R^2)$
\begin{aligned} \oint_Cf(z)dz &=\oint_C(u+v)(dx+idy)\\ &=\oint(udx-vdy)+i\oint(udy+vdx)\\ &=-\int_{D}\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)dxdy+i\int_{D}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)dxdy\\ &=0 \end{aligned}
最後の等式ではCauchy-Riemannの関係式$u_x=v_y, u_y=-v_x$を用いた。

これを多重積分経路化して、留数の定義を当てはめると留数定理が出てきますね。ここから発展させると複素解析の多くの定理を「系」にできる気がしてきましたが、Stokes-Cartanが内包しているというよりは複素解析が凄いだけな気がするので、この辺でやめときます。(しかも、これは複素関数論の教科書でもないですしね)

Ramanujan's Master Theorem

これについては 解説した記事 があるのでこちらを見てほしいです。主張の内容としては次の通りです。

Ramanujan's Master Theorem

$$ f(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\varphi(k)}{k!}(-z)^k $$
と展開されるとき、
$$ \int_0^\infty x^{s-1}f(x)dx=\Gamma(s)\varphi(-s) $$
で与えられる。

これには主張に不備がありますが、そのあたりの話も含めて上で示した記事です。系というと、代入して計算できるものとか...?

二年生の夢

これは思い入れが深い等式です。Riemannのゼータ関数
$$ \zeta(s)=\sum_{n>0}\frac1{n^s} $$
に似た積分と級数で、僕が中学二年生当時よくわかっていないものがありました。この三つです。

$$ \sum_{n>0}\frac1{n^n}, \int_0^1\frac1{x^x},\int_0^\infty\frac1{x^x} $$

このうち、前者二つが等しいと主張するのがこの節での主定理です。

二年生の夢

等式
$$ \sum_{n>0}\frac1{n^n}= \int_0^1\frac1{x^x} $$
が成立する。

直接変形によって示す。
\begin{aligned} \int_0^1\frac1{x^x} &=\int_0^1e^{-x\ln x}\\ &=\int_0^1\sum_{n\ge0}\frac{(-x\ln x)^n}{n!}dx\\ &=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^1x^n\ln^n xdx\\ &=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^\infty e^{-(n+1)t}(-t)^ndt&(x\mapsto e^{-t})\\ &=\sum_{n\ge0}\frac1{n!}\frac{\Gamma(n+1)}{(n+1)^{n+1}}\\ &=\sum_{n>0}\frac1{n^n} \end{aligned}

式の対称性が半端じゃないですね。近似値を求める際、前者二つがほぼ同じ値であったので同じかもしれない、という予想はあったのですが、実際に証明したときはかなり感動しました。当時の僕はガンマ関数を知りませんでしたが、これの導出の際
$$ \int_0^\infty t^{n-1}e^{-t}dt=n! $$
が成り立つはずだと思っていたので、証明自体はそこまで大変ではなかったです。当時は何も言わず級数と積分を交換してましたが...

Bohr-Mollerupの定理

この定理は証明が好きです。

Bohr-Mollerup Theorem

正の実軸上で対数凸であり、$f(x+1)=xf(x), f(1)=1$である解析関数は唯一つである。

$0< x\le1, n\in\N$とすると、与えられた関数等式から
$$ f(x+n)=(x)_{n}f(x) $$
である。また、$s(x_1, x_2)$を二点$(x_1,\ln f(x_1)),(x_2,\ln f(x_2))$を結んだ直線の傾きとし、$x_1< x_2$としておくと、対数凸であるという条件から
$$ s(n-1,n)\le s(n,n+x)\le s(n,n+1) $$
となります。これを変形していくと
$$ s(n-1,n)\le s(n,n+x)\le s(n,n+1)\\ x(\ln f(n)-\ln f(n-1))\le \ln f(x+n)-\ln f(n)\le x(\ln f(n+1)-\ln f(n))\\ (n-1)^x(n-1)!\le f(x+n)\le n^x(n-1)! $$
となり、はじめに与えた式から
$$ \frac{(n-1)^x(n-1)!}{(x)_n}\le f(x)\le\frac{n^x(n-1)!}{(x)_n} $$
即ち
$$ \frac{n^xn!}{(x)_{n+1}}\le f(x)\le \frac{n^x(n-1)!}{(x)_n}\frac{x+n}{n} $$
となる。ここで$n\to\infty$の極限を考えると、挟み撃ちの原理により
$$ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^xn!}{(x)_{n+1}} $$
となり、$0< x\le1$においては一意的なのであるが、一致の定理により条件を満たす解析関数は唯一つである。

証明に挟み撃ちの原理を使うこと、挟み撃ちの原理で挟むものが直接極限がわからなくてもいいという意味で新しい視点が与えられました。これを読んだとき、「うわ、これ頭いい...!」と思ったことをよく覚えてます。

Picardの大定理

複素解析においてかなり強い定理です。孤立真性特異点近傍の像が、高々一つの点を除き$\C$を覆うことを主張する定理で、正確なステートメントは以下のようになります。

Picardの大定理

$f(z)$が$U_\delta(z_0)=\left\{z\in\C\colon0<\lvert z-z_0\rvert<\delta\right\}$で正則かつ$z_0$で真性特異点を持つとする。このとき、
$$ \exists a\in\C, \forall b\in\C\setminus\{a\},\exists z\in U_\delta(z_0)\;s.t.\;f(z)=b $$
である。

証明は こちら でわかると思います。

この定理は系のほうがわかりやすいかもしれません。

Picardの小定理

定数でない整関数$f:\C\to\C$に対して、その値域$\operatorname{Im}f$は高々一つの点を除いて$\C$に等しい。

$f(z)$が定数でない整関数であるとすると、定義から$g(z)=f(\frac1z)$は$z=0$以外に特異点を持たない。
ここで、$z=0$が$g$の真性特異点であるならば、Picardの大定理によって高々一つの例外を除くすべての複素数値を取ることがわかる。
また、$z=0$が$g$の極や可除特異点であるならば、その主要部を除去した関数$h(z)$を考えると、これはほかに特異点を持たず有界であるから、Liouvilleの定理によって定数となる。よって$g(z)$は$z^{-1}$の多項式で表せ、それが定数ではないことから代数学の基本定理からすべての複素数値をとることがわかる。従って、このときの$f(z)=g(\frac1z)$も、高々一つの例外を除きすべての複素数値をとる。

証明に代数学の基本定理とLiouvilleの定理を援用したことからわかるように、一応それらを系として従えています(しかし、それを証明にしてしまうと循環論法になってしまう可能性があります)

Liouvilleの定理

有界な整関数は定数に限る。

代数学の基本定理

任意の複素係数多項式は複素根を持つ。

Casorati-Weierstrassの定理

正則関数$f$の孤立真性特異点近傍の像の閉包は、$\C$である。

系について語るより、元の定理の美しさを語ったほうがいい気がしますね。正則関数というものの定義は非常に単純なのに、ここまで強い制約がかかっているのだと実感します。

位相と集合

整列集合の比較定理

整列集合という概念が非常に単純な構造しかもっていないことを主張する定理です。

整列集合の比較定理

$X,Y$を整列集合とすると、次のうち唯一つが成立する。
\begin{aligned} X\cong Y\\ \exists!y\in Y[X\cong Y_y]\\ \exists!x\in X[Y\cong X_x]\\ \end{aligned}

というか個人的に整列集合が好きです。超限帰納法っていいですよね。

なんか、簡単に定義されたものが強い制約がかかっている状態が好きなのかなという気がしてきました。...

幾何

ルートヘロンの公式

懐かしいです。中学三年生の時に思いついて放置されたのち、高校一年生の授業を聞いていてそのアイデアを思い出し証明したような公式です。(今のTwitterのヘッダーになってますね)

このツイート に証明が書いてあるので読みたい人は読んでもらって、主張は以下のようになります。

ルートヘロンの公式

三辺の長さが$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$の三角形の面積$S$は
$$ S =\frac{\sqrt{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}}{2} $$
但し
$$s=\displaystyle\frac{a+b+c}{2}, \alpha=s-a,\beta=s-b,\gamma=s-c$$

これはなんとなく見つけたときにはカタカナ表記だったのでカタカナのままなのですが、母国語表記でもいいと思います。実質的にヘロンの公式と同じですね。

証明を読んでみるとわかると思うのですが、平面図形の面積を求めるために立体図形を使っているんですね。「紙面の奥側に補助線を書く」という幾何の解き方はあまり見たことがないので個人的に面白いと思いました。そもそも中学三年生の時はここまでうまくいくと思っていませんでしたしね。

おわりに

どうでしたか。感動できるものとか感心するものとかがあったりしたでしょうか。

そもそも僕が解析偏重心というのもあるので解析分野のものが多くなったのですが、個人的に初等幾何で思い出せるものがあったというのが意外でした。もし誰かの参考になるのでしたら幸いです。

投稿日:3月12日
更新日:3月18日

投稿者

微分形式に感動した解析学が大好きな、紙を常に欲する高校二年生 積分が好きです。

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微分形式に感動した解析学が大好きな、紙を常に欲する高校二年生 積分が好きです。