以下の式により素数か素数でないかの判定が可能です。
次回の投稿で式の成り立ちについて書こうかと思っています。
まずはこの式について皆様にご確認いただきたく思います。
ご指摘等ありましたらよろしくお願いいたします。
ｎについては10進数の数列でもよいのですが、ｎ進数とした方が美しくなりますのでそちらを採用させていただいております。
まずは使用する記号を記します。
$$
\normalsize{N_{10} }\equiv 判定したい任意の10進数
$$$$
\normalsize{n} \equiv\lbrace 2,3,4 \cdots \normalsize{n}\vert n \in N,n \geq 2
\rbrace で表わされる進数
$$$$
\normalsize{h} \equiv \lbrack \sqrt{N_{10} } \rbrack ※記号が見つかりませんでしたので［］としましたが、床関数です。以後[]は床関数の意味です。
$$$$
\normalsize{m} \equiv \lbrack \sqrt{N_{10} -1} \rbrack
$$
$$
{}^{n} P \equiv 判定結果として返される値
$$
$$
\normalsize{P} \equiv 素数
$$以上を用いて判定公式を示します。
$$
{}^{n} P \equiv (\sum_{n=2}^{h} \lbrack \frac{N_{10}
-n}{n} \rbrack)- (\sum_{n=2}^{m} \lbrack \frac{(N_{10} -1)-n}{n} \rbrack)
$$
$$
{}^{n} P \equiv 0 \Rightarrow N_{10}
\equiv P
$$
$$
{}^{n} P \equiv 1 \Rightarrow N_{10} \equiv P^{2}
$$
$$
{}^{n} P \geq 2 \Rightarrow N_{10} \equiv 合成数
$$
$$
P^{2} も合成数なので
{}^{n} P \equiv 0
と {}^{n} P \neq 0で分ければよい。
$$
$$ $$
$$ $$
$$
$$
$$
$$
$$ $$
$$