直和位相と商位相
はじめに
この記事は (とある記事で用いる予定の) 直和位相と商位相の性質に関する証明の備忘録です.
終位相
まず, 直和位相と商位相を (統一的に) 定義する為に 終位相 (final topology) という概念を準備します.
$\{(X_\lambda, \mathcal O_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間の族,$Y$を集合, $(f_\lambda : X_\lambda \to Y)_{\lambda \in \Lambda}$を写像の族とする. このとき, 各$f_\lambda$を連続にする$Y$上の最強の位相のことを 終位相 という.
特に, $\Lambda$が一元集合のとき, つまり$f : (X, \mathcal O) \to Y$を連続にする最強の位相のことを 像位相 と言います.
$(X, \mathcal O)$を位相空間とし,$\sim$を$X$上の同値関係とする. このとき, 商写像$q : X \to X/{\sim}$に関する像位相$\mathcal O_{\sim}$を 商位相 といい,$(X/{\sim}, \mathcal O_{\sim})$のことを商空間という.
次に, 直和位相を定義します. 商位相が商集合$X/{\sim}$上に定義された位相であったのと同様に, 直和位相は直和集合上の位相として定義されます.
$\{(X_\lambda, \mathcal O_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間の族とし,$X$を$\{X_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$の直和集合
\begin{align}
X := \bigsqcup_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \{\lambda\} \times X_\lambda
\end{align}
とする. このとき, 包含写像$\iota_\lambda : X_\lambda \to X; x \mapsto (\lambda, x)$ ($\lambda \in \Lambda$) に関する終位相$\mathcal O$を 直和位相 といい,$(X, \mathcal O)$のことを直和空間という.
定義を与えただけでは扱い辛いので, 簡単な性質を確認しておきます.
$(f_\lambda : (X_\lambda, \mathcal O_\lambda) \to Y)_{\lambda \in \Lambda}$に関する終位相の開集合系は次の形で表すことができる :
- $\left\{ U \subseteq Y : \forall \lambda \in \Lambda. f_\lambda^{-1}(U) \in \mathcal O_\lambda \right\}$
$\mathcal O$を$(f_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$に関する終位相の開集合系とし,$\mathcal O' := \left\{ U \subseteq Y : \forall \lambda \in \Lambda. f_\lambda^{-1}(U) \in \mathcal O_\lambda \right\}$とする.
このとき, 各$f_\lambda : (X_\lambda, \mathcal O_\lambda) \to (Y, \mathcal O)$が連続であることから, 任意の$U \in \mathcal O$は$f^{-1}(U) \in \mathcal O_\lambda$となる. 故に,$\mathcal O \subseteq \mathcal O'$である.
一方, 逆像を取る操作が和集合や共通部分を取る操作と可換であることから,$\mathcal O'$が$Y$上の開集合系を成し, その定め方から各$f_\lambda : (X_\lambda, \mathcal O_\lambda) \to (Y, \mathcal O')$は連続になる. 従って,$\mathcal O$の定義から$\mathcal O' \subseteq \mathcal O$となる.
よって,$\mathcal O = \mathcal O'$である. $\Box$
この表示から, 商位相や直和位相の (一般的な定義で用いられる) 開集合系の具体的な表示を得ることが出来ます. (今回は使わないので省略します) また, ここから次の終位相に関する写像の連続性を特徴付けることが出来ます.
$(Y, \mathcal O_Y)$を族$(f_\lambda : (X_\lambda, \mathcal O_\lambda) \to Y)_{\lambda \in \Lambda}$に関する終位相(空間)とする. このとき, 位相空間の間の写像$g : (Y, \mathcal O_Y) \to (Z, \mathcal O_Z)$について, 次は同値 :
- $f$は連続である.
- 全ての$\lambda \in \Lambda$に対して,$g \circ f_\lambda : X_\lambda \to Z$は連続である.
連続写像の合成は連続なので, 1 ならば 2 は明らかである. 逆を示す.
$U \in \mathcal O_Z$を任意に取る. このとき, 任意の$\lambda \in \Lambda$について,$g \circ f_\lambda$は連続なので$(g \circ f_\lambda)^{-1}(U) = f_\lambda^{-1}(g^{-1}(U)) \in \mathcal O_\lambda$である. よって, 終位相の開集合系の表示から$g^{-1}(U) \in \mathcal O_Y$となる. 故に,$g$は連続である. $\Box$
終位相に関する一般論は以上です.
商空間の普遍性
まず, 商空間の性質について説明します. 先ほどの連続性の特徴付けから, 次が直ちに分かります.
$(X/{\sim}, \mathcal O_{\sim})$を位相空間$(X, \mathcal O)$の同値関係${\sim}$に関する商空間とする. このとき, 写像$f : (X/{\sim}, \mathcal O_{\sim}) \to (Y, \mathcal O')$について,$f$が連続であることと, 合成写像$f \circ q : (X, \mathcal O) \to (Y, \mathcal O')$が連続であることは同値である. (ただし,$q$を商写像とする)
ここから, 次の商空間の普遍性と呼ばれる性質が得られます.
${\sim}$を位相空間$(X, \mathcal O)$の同値関係とし,$f : (X, \mathcal O) \to (Y, \mathcal O')$を連続写像とする. このとき,$f$が「任意の$x, x' \in X$について,$x \sim x'$ならば$f(x) = f(x')$」を満たすならば, 連続写像$\tilde f : (X/{\sim}, \mathcal O_{\sim}) \to (Y, \mathcal O')$であって,$f = \tilde f \circ q$を満たすものが一意に存在する.
$\tilde f$の一意存在性は商集合に関する (集合論の) 一般論から得られる. (よくある議論なので省略する) $\tilde f$の連続性は先述の補題から分かる. $\Box$
直和空間の普遍性
次に, 直和空間の普遍性について説明します.
$\{(X_\lambda, \mathcal O_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$を位相空間の族とし,$X$を$\{X_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$の直和集合
\begin{align}
X := \bigsqcup_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \{\lambda\} \times X_\lambda
\end{align}
とし,$\mathcal O$をその直和位相とする. (ただし,包含写像は$\iota_\lambda : X_\lambda \to X; x \mapsto (\lambda, x)$ ($\lambda \in \Lambda$) で表す) このとき, 任意の位相空間$(Y, \mathcal O')$と連続写像の族$(f_\lambda : (X_\lambda, \mathcal O_\lambda) \to Y)_{\lambda \in \Lambda}$に対し,$f \circ \iota_\lambda = f_\lambda$ ($\lambda \in \Lambda$) を満たす連続写像$f : (X, \mathcal O) \to (Y, \mathcal O')$が一意に存在する.
一意存在性は直和集合に関する (集合論の) 一般論から得られる. (存在性 : $f(\lambda, x) := f_\lambda(x)$ ($(\lambda, x) \in X$) と定めればよい. 一意性 : $X = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \iota_\lambda(X_\lambda)$であることから確かめられる) $f$の連続性は先ほどの終位相における連続性から分かる. $\Box$
おわりに
商空間と直和空間の普遍性において, 条件を満たす写像の一意存在性は集合論の一般論によって得られました. ここから, 商位相や直和位相はこれらの集合の性質を位相空間に拡張する為の最も自然な位相だと思えます.