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解説大学数学以上
文献あり

ベクトル空間のテンソル積超入門

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微分幾何では, ベクトル場, リーマン計量, 微分形式をテンソル場として考える. その際も曲率について議論する際もテンソル積が自然に現れる. ここではベクトル空間のテンソル積について考える. 何かございましたらどうぞコメントをください.

$V$$m$次元ベクトル空間, $W$$n$次元ベクトル空間とする. $(e_1,…,e_m), (f_1,…,f_n)$$V, W$の基底とする. $mn$次元ベクトル空間$T$について$V×W$から双線型写像$\otimes:V×W \to T$(片方の変数を固定した時もう片方について線型な写像)があり, $(\otimes(e_i,f_j))_{i=1,…,m, j=1,…,n}=(e_i\otimes f_j)_{i=1,…,m, j=1,…,n}$$T$の基底となる時, $T$$V, W$のテンソル積と言い$V\otimes W$で表す.

このテンソル積の定義は普遍性による定義と同値である.

例(1) $m×n$型実行列全体の成すベクトル空間$\mathbb{R}^{mn}=\mathbb{R}^m\otimes\mathbb{R}^n$である. ここで$\otimes(e_i, f_j)=E_{ij}$であり$E_{ij}$は行列単位($(i, j)$-成分が$1$で他の成分は$0$の行列)である.

例(2) ベクトル空間$V$上の$(r, s)$型テンソル全体の成すベクトル空間, すなわち$V×…×V×V^*×…×V^*$から$\mathbb{R}$への双線型写像全体の成すベクトル空間は$V^*\otimes…\otimes V^*\otimes V\otimes…\otimes V$である. ここで$V^*$$V$の双対空間, すなわち$V$上の実数値線型写像全体の成す線型空間であり, $(V^*)^*=V$である.

例(3) 一般にテンソル積は可換ではないが, 多様体$M$上の接束$TM$$T^*M$についてもテンソル積が定義され, その要素は可換である.

例(4) ベクトル束$B$の, ベクトル束$E$とのテンソル積は「$B$$E$値化」である. 例えば$M$上の$E$値微分形式の成す空間は$\Gamma(M, T^*M\otimes E)$である.

参考文献

投稿日:322
更新日:322

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収入が少ないので, Mathlogのお金を支払う機能で支援してくだされば幸いです. 研究の記事の他に, 発見シリーズ, 行間シリーズ, 超入門シリーズも書いています. 北田均『数理解析学概論』新訂版序文の「ほぼ独学と思われる熱心な読者」, 結城浩『数学ガールの秘密ノート/行列が描くもの』あとがきの「類太郎」. 指摘を受けたり自分で誤りに気付いて, 後から訂正することも多々ある. 寛容な目で温かい目で見て頂きたい. 何かあればご連絡を頂きたい. 悪意のあるきつい言い方をされたことも多々あったが, それさえしなければ指摘には真摯に対応したい. 数式, 特に偏微分方程式が好き. 多変数複素解析のヘルマンダーの方法:複素多様体における外微分 d を d=∂′+∂′′ とするとき‚ 既知微分形式 f と未知微分形式 u について ∂′′u=f (ディーバー方程式)の可解性で諸問題を考える方法, 複素多様体における微分幾何として複素モンジュ-アンペール方程式の解の存在, 代数解析の偏微分方程式への応用でも何かを遺したい.

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