ナビエ-ストークス方程式の自明な解 (4月2日15:16 改訂)
ベクトルや変数の添え字を右上に書く.
$\partial_t=\partial/{\partial t},$
$\Delta=\sum_{j=1}^3\partial^2/{(\partial x^j)^2}(=\sum_{j=1}^3(\partial_{x^j})^2),$
$\nabla\mathfrak{p}=(\partial_{x^1}\mathfrak{p},\partial_{x^2}\mathfrak{p},\partial_{x^3}\mathfrak{p}),$
$(u \cdot \nabla)u^i=\sum_{j=1}^3 u^j \partial_{x^j} u^i$
$\mathrm{div}\,u=\sum_{j=1}^3{\partial u^j}/{\partial x^j}$
とする.
非圧縮性粘性流体のナビエ-ストークス方程式
$\begin{cases}
\partial_t u -\Delta u=f - \nabla \mathfrak{p}-(u \cdot \nabla)u\\
\mathrm{div}\,u=0
\end{cases}$
は外力$f$を$0$とするとき, 未知関数としての流速$u$と内部圧力$\mathfrak{p}$として定数関数がありえる. すなわち解$u, \mathfrak{p}$として定数関数が挙げられる. 定数関数の偏導関数は$0$だからである. 偏微分方程式の解析は通常はソボレフ空間やべゾフ空間などで行うが, $0$でない定数関数はこれらの空間でノルムが$\infty$になるから, 大類の方法も既成の理論も$f=0$のとき定数関数解としては$u=0,\mathfrak{p}=0$しかない. この場合は解の存在と一意性と滑らかさは自明である.