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自作整数問題1第2問目の解答

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タイトルの通り、この 問題 の第$2$問目の解答になります。
解法はいくつかあると思いますが、私は一つしか思いつかなかった(おおまかな流れが同じものは同一のものとした)のでそれを模範解答とします。他にもこんな解法があるよ、という方がいれば、ご連絡ください。

解答

$n=1$は問題の不等式の解になる.

互いに素な自然数$m,n$が解になるとき,
$$ \varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\leq \sqrt m \sqrt n=\sqrt{mn} $$
となるため$mn$も解になる.
このことから,まずは解が素数の冪$p^a$になるときを考えればよいとわかる.

$n=p^a$が不等式の解になるとき,
\begin{align} \varphi(p^a)&=(p-1)p^{a-1} \\ \\ (p-1)p^{a-1}&\leq \sqrt{p^a} \\ p^{\frac{1}{2}a}&\leq \dfrac{p}{p-1}\leq 2 \\ \end{align}
となる.左辺は$a,p$に関して狭義単調増加するため,少し調べれば$(a,p)=(1,2),(1,3),(2,2)$のみが上式を満たすとわかる.しかし,$(a,p)=(1,3)$のとき,すなわち$n=3$のときは問題の解にならない($n=2,4$が解になることは簡単にわかる).
これにより,$n$が素数の冪なら$\varphi(n)\leq \sqrt n$の解は$n=2,4$のみである.つまり,「$2,4$を除く素数の冪はすべて不等式$\varphi(n)\gt \sqrt{n}$を満たす」ということである.
ここまでくれば,素数の冪に限らずすべての自然数について不等式を解くことができる. 前回の記事 と同様の考えで,次のように解を求める.
$$ \\ $$

  1. $n=2q^b \ (\mathrm{gcd}(2,q)=1,qは素数)$の形の解があるかを調べる.あるなら次へ,ないなら終了.
  2. $n=2q^br^c \ (\mathrm{gcd}(2,q,r)=1,rは素数)$の形の解があるかを調べる.あるなら次へ,ないなら終了.
  3. $n=2q^br^cs^d \ (\mathrm{gcd}(2,q,r,s)=1,sは素数)$の形の解があるかを調べる.あるなら次へ,ないなら終了.
    $$ \vdots $$
    $$ \\ $$

上の操作が終了したなら次へ移る.
$$ \\ $$

  1. $n=4q^b \ (\mathrm{gcd}(2,q)=1,qは素数)$の形の解があるかを調べる.あるなら次へ,ないなら終了.
  2. $n=4q^br^c \ (\mathrm{gcd}(2,q,r)=1,rは素数)$の形の解があるかを調べる.あるなら次へ,ないなら終了.
  3. $n=4q^br^cs^d \ (\mathrm{gcd}(2,q,r,s)=1,sは素数)$の形の解があるかを調べる.あるなら次へ,ないなら終了.
    $$ \vdots $$
    $$ \ $$

これをもとに解く.

  1. $n=2q^b \ (\mathrm{gcd}(2,q)=1,qは素数)$のとき
    \begin{align} \varphi(2q^b)&=(q-1)q^{b-1} \\ \\ (q-1)q^{b-1}&\leq \sqrt{2q^b} \\ q^{\frac{1}{2}b}&\leq \dfrac{\sqrt 2q}{q-1}\leq \dfrac{3\sqrt 2}{2}\lt 2.25 \end{align}
    となる.$q\geq 3$に注意すれば$(b,q)=(1,3),(1,5)$のみが上式を満たすことがわかるが,$(b,q)=(1,5)$のとき,すなわち$n=10$のときは$\varphi(10)=4\gt \sqrt{10}$より解ではない.また,$n=6$が解になることがわかる.

  2. $n=6r^c \ (\mathrm{gcd}(6,r)=1,rは素数)$のとき
    \begin{align} \varphi(6r^c)&=2(r-1)r^{c-1} \\ \\ 2(r-1)r^{c-1}&\leq \sqrt{6r^c} \\ r^{\frac{1}{2}c}&\leq \dfrac{\sqrt 6}{2} \cdot \dfrac{r}{r-1}\leq \dfrac{5\sqrt 6}{8}\lt 1.6 \end{align}
    となる.$r\geq 5$であるから,これを満たす$c,r$の組は存在しない.

次の場合に移る.

  1. $n=4q^b \ (\mathrm{gcd}(2,q)=1,qは素数)$のとき
    \begin{align} \varphi(4q^b)&=2(q-1)q^{b-1} \\ \\ 2(q-1)q^{b-1}&\leq 2\sqrt{q^b} \\ q^{\frac{1}{2}b}&\leq \dfrac{q}{q-1}\leq \dfrac{3}{2}=1.5 \end{align}
    となる.$q\geq 3$であるから,これを満たす$b,q$の組は存在しない.

以上により,問題の不等式の解はすべて出尽くした.解は$n=1,2,4,6$である.

投稿日:47

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約数関数、数列関係の記事を中心に書いていきます。 記事の内容に間違いがあれば教えてくれるとありがたいです。

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